Seja T   uma transformação linear. Qual das alternativas abaixo é possível?

(a)   T 6,12,18 = ( 4,5 , 6 ) e T 12,24,36 = ( 7,8 , 9 )

(b) T 1,2 , 3 = ( 0,0 , 0 ) e T 3,6 , 9 - T ( 2,4 , 6 ) = ( 4,2 , 6 )

(c) T 4 , - 4,4 = ( - 4,4 , - 4 ) e T - 4,4 , - 4 = ( 4 , - 4,4 )

(d) T 2 , - 2,2 = ( 4,4 , 4 ) e T 6 , - 6,6 - T ( 4 , - 4,4 ) = ( - 4 , - 4 , - 4 )

Passo 1

Para ser uma transformação linear, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas:

T u + v = T u + T v

T λ u = λ T u , ∀ λ ∈ R

Passo 2

Vamos conferir se as alternativas satisfazem isso:

(a)   T 6,12,18 = ( 4,5 , 6 ) e T 12,24,36 = ( 7,8 , 9 )

Como   T λ u = λ T u , teríamos que ter:

12,24,36 = 2 6,12,18

T 2 6,12,18 = T 12,24,36 = 2 T 6,12,18

Ou seja, a transformação de 12,24,36 deveria ser duas vezes a tranformação de 6,12,18 , mas 2 ( 4,5 , 6 ) ≠ ( 7,8 , 9 ) .

(b)   T 1,2 , 3 = 0,0 , 0 e T 3,6 , 9 - T 2,4 , 6 = 4,2 , 6

Como T u + v = T u + T v e T λ u = λ T u ,   teríamos que ter:

3,6 , 9 - 2,4 , 6 = ( 1,2 , 3 )

Assim essa igualdade deveria ser satisfeita:

T 3,6 , 9 - 2,4 , 6 = T 1,2 , 3 = T 3,6 , 9 - T 2,4 , 6

Mas 0,0 , 0 ≠ 4,2 , 6 .

(c) T 4 , - 4,4 = ( - 4,4 , - 4 ) e T - 4,4 , - 4 = ( 4 , - 4,4 )

Como   T λ u = λ T u , teríamos que ter:

- 4,4 , - 4 = - 1 4 , - 4,4

T - 1 4 , - 4,4 = T - 4,4 , - 4 = - T 4 , - 4,4

Ou seja, a transformação de - 4,4 , - 4 deve ser menos a tranformação de 4 , - 4,4 , e realmente é:

- - 4,4 , - 4 = ( 4 , - 4,4 )

Resposta

(c)

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