Seja o espaço vetorial V = M 2 × 2 e a transformação linear:

T : V → R 3 ,

T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a )

Mostre que T é linear.

Passo 1

Bom, pra uma transformação ser linear, como já sabemos, tem que satisfazer as condições:

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

O próprio enunciado já afirma que ela é linear, mas nos pede pra mostrarmos isso. Logo, temos que testar ambas as condições e mostrar que, de fato, elas são atendidas.

Passo 2

Vamos provar a primeira condição:

I   T a 1 b 1 c 1 d 1 + T a 2 b 2 c 2 d 2 =   T a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2   I I

Desenvolvendo I :

T a 1 b 1 c 1 d 1 + T a 2 b 2 c 2 d 2

a 1 + b 1 , c 1 - d 1 , 2 a 1 + ( a 2 + b 2 , c 2 - d 2 , 2 a 2 )

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 , c 1 - d 1 + c 2 - d 2 , 2 a 1 + 2 a 2

Agora o lado I I :

T a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2

a 1 + a 2 + b 1 + b 2 , c 1 + c 2 - d 1 - d 2 , 2 a 1 + a 2

Passo 3

Igualando I e I I :

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 c 1 + c 2 - d 1 - d 2 = c 1 - d 1 + c 2 - d 2 2 a 1 + 2 a 2 = 2 a 1 + a 2

Todas as igualdades tão certinhas, então a transformação passou no primeiro teste. Vamos para a segunda condição agora!

Passo 4

I I I   T λ a λ b λ c λ d = λ T a b c d   I V

Lado I I I :

( λ a + λ b , λ c - λ d , 2 λ a )

Lado I V :

λ ( a + b , c - d , 2 a )

( λ a + λ b , λ c - λ d , 2 λ a )

Passo 5

-

Igualando I I I e I V podemos ver que de fato são iguais. Como a transformação satisfez ambas as condições, ela é linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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