Seja A uma matriz 2 × 2 tal que:

A 1 - 3 = 1 1

e:

A 2 - 5 = 1 - 1

Então A - 2 4 vale:

(a) 0 4

(b)   1 3

(c) 3 - 1

(d) 2 0

Passo 1

Os vetores 1 , - 3 e 2 , - 5 formam uma base para R 2 .

Isso significa que qualquer vetor desse espaço se escreve como CL desses dois caras.

Vamos ver como podemos escrever o vetor ( - 2,4 ) a partir de uma CL deles:

- 2,4 = a 1 , - 3 + b 2 , - 5

- 2,4 = a + 2 b , - 3 a - 5 b

a + 2 b = - 2 - 3 a - 5 b = 4

Isolando o a na primeira equação:

a = - 2 - 2 b

Substituindo na segunda:

- 3 - 2 - 2 b - 5 b = 4 ∴ b = - 2

Substituindo, achamos o valor de a:

a = 2

Passo 2

Beleza, então acabamos de achar o seguinte:

- 2,4 = 2 1 , - 3 - 2 2 , - 5

Aplicando a matriz A dos dos lados da igualdade:

A - 2,4 = A 2 1 , - 3 - 2 2 , - 5

Mas a matriz A é uma transformação linear, então podemos quebrar essa soma do lado direito em duas e colocar o escalar pra fora:

A - 2,4 = 2 A 1 , - 3 - 2 A 2 , - 5

Mas sabemos quanto vale A ( 1 , - 3 ) e A ( 2 , - 5 ) , foi dado no enunciado:

A 1 - 3 = 1 1

A 2 - 5 = 1 - 1

Substituindo esses valores dados:

A - 2,4 = 2 1,1 - 2 1 , - 1

A - 2,4 = 0,4

E essa resposta está na letra (a)!

Resposta

(a) 0 4

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