Sejam v →   =   1   1   1 T , u → =   - 1 - 1   1 T e A tal que A v → = [ 1   1   1   2 ] T   e A u → =   [ 1   1   2   1 ] T . Calcule a terceira coluna da matriz A.

(a) [ 1 3 2   3 2 ] T

(b) [ 1 - 1 2   1 2 ] T

(c) [ 1   1 3 2     3 2 ]   T

(d) [ 0   0 - 1 2   1 2 ] T

Passo 1

Antes de tudo vamos lembrar aquele macete pra sabermos quando podemos multiplicar duas matrizes. Dá uma olhada no caso abaixo:

Podemos multiplicar a matriz A (que tem 2 linhas e 3 colunas) pela B (que tem 3 linhas e 4 colunas) porque o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O resultado dá pra gente uma terceira matriz C, que tem 2 linhas e 4 colunas.

Ou seja, quando escrevemos a multiplicação dessa forma, temos que os números de dentro tem que ser iguais para multiplicarmos as matrizes, enquanto o resultado é uma matriz com os resultados de fora.

Nessa questão, não nos foi dito nada sobre o número de linhas ou colunas de A, mas os vetores que estão multiplicando essa matriz têm dimensões 3x1, enquanto os resultados têm dimensões 4x1.

Usando esse macete que acabamos de lembrar, temos:

A 4 ⏟ x 3 ⏞ × B 3 ⏞ x 1 = C 4 ⏟ x 1

Logo, a matriz A tem que ter 4 linhas e 3 colunas!

O que queremos é a terceira coluna de A. Uma forma de obtermos essa coluna é fazendo a operação:

A   0 0 1

Ok, mas como vamos fazer isso com os dados do enunciado?

Passo 2

Vamos precisar escrever o vetor [ 0   0   1 ] T como uma combinação linear dos vetores v → e u → dados.

Então vamos encontrar os coeficientes da combinação linear fazendo:

a v → + b u → =   [ 0   0   1 ] T  

a   1 1 1 +     b   - 1 - 1 1 =     0 0 1

a - b a a - b b = 0 0 1  

Ficamos com o sistema: a - b = 0 a + b = 1

Da primeira equação, tiramos que:

a - b = 0 ⇒ a = b

Substituindo na segunda:

a + a = 1

2 a = 1   ⇒ a = 1 / 2

Como a = b , temos também que:

b = 1 / 2

Passo 3

Temos então que:

( 1 2 ) v → + ( 1 2 ) u → =   [ 0   0   1 ] T

Aplicando A dos dois lados:

A [ 1 2 v → + 1 2 u → ] = A 0 0 1

Do lado direito temos a terceira coluna de A, como vimos no passo 1! Agora precisamos resolver o lado esquerdo.

Como a matriz é uma combinação linear, podemos fazer:

A 1 2 v → + 1 2 u → = 1 2 A v →   + 1 2 A u →

Pelos dados do enunciado:

1 2 A v →   + 1 2 A u → = 1 2 1 1 1 2 + 1 2 1 1 2 1 =   1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 + 1 / 2 1 / 2 1 1 / 2 =   1 1 3 / 2 3 / 2

Resposta

(c) [ 1   1 3 2     3 2 ]   T

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