Verifique se F é linear:

F p x = x 2 .   p ( x + 1 )

F : P 2 → P 4

Passo 1

Para vermos se F é linear, temos que verificar as duas condições:

1 ) F p 1 + p 2 x = F p 1 x + F ( p 2 ) ( x )

2 )   F λ p x = λ F ( p ) ( x )

Lembre-se que como o domínio é P 2 , estamos trabalhando com POLINÔMIOS! Isso quer dizer que estamos trabalhando com seus coeficientes e não sua variável x .

Vamos definir algumas coisas antes:

p 1 x = c 1 + b 1 x + a 1 x 2

p 2 x = c 2 + b 2 x + a 2 x 2

p 1 + p 2 x = c 1 + c 2 + b 1 + b 2 x + a 1 + a 2 x 2

F p x = x 2 c + b x + 1 + a x + 1 2

Passo 2

Vamos provar a primeira condição:

I     F p 1 + p 2 x = F p 1 x + F p 2 x     ( I I )

Vou desenvolver o lado ( I I ) :

F p 1 x + F p 2 x

= x 2 a 1 x + 1 2 + b 1 x + 1 + c 1 + x 2 a 2 x + 1 2 + b 2 x + 1 + c 2

= x 2 a 1 x + 1 2 + b 1 x + 1 + c 1 + a 2 x + 1 2 + b 2 x + 1 + c 2

= x 2 ( c 1 + c 2 + b 1 + b 2 ( x + 1 ) + a 1 + a 2 ( x + 1 ) 2 )

Podemos ver que isso é exatamente:

x 2 p 1 + p 2 x + 1

= F ( p 1 + p 2 ) ( x )

Assim, a condição 1 está provada.

Passo 3

Agora vamos desenvolver a condição 2:

F λ p x = x 2 λ p x + 1 = λ x 2 p x + 1 = λ ( x 2 p x + 1 ⏟ F ( p x ) )

= λ F ( p x )

Como provamos as duas condições, vemos que a transformação é linear.

Resposta

Sim, é linear.

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