Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

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Enunciado

Um automóvel de 1000   k g está em repouso em um semáforo. No instante em que a luz fica verde, o automóvel acelera constantemente a 4,0   m / s 2 . No mesmo instante um caminhão de 2000   k g , movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8,0   m / s , ultrapassa o automóvel.

(a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em t = 3,0   s ?

(b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa é uma questão de centro de massa! Ela parece complicada, mas vou decifrar junto com você!

Aqui vãos usar a definição de posição e velocidade do centro de massa, com as equações do MRUV e MRU que já conhecemos!

Vamos começar pela equação do automóvel!

A equação da posição para um movimento retilíneo uniformemente variado, considerando a origem de nosso sistema de referência no sinal e partindo do repouso, é:

x a u t o t = a t 2 2    

Agora para o caminhão!

E a equação da posição para um movimento retilíneo uniforme, considerando o mesmo referencial:

x c a m t = v 0 t  

A partir dessas equações vamos determinar a posição de cada veículo e, por fim, aplicaremos a seguinte relação para determinar a coordenada x do centro de massa:

x c m = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2    

Beleza? Mas calma, vou fazer com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar resgatando as equações de movimento para determinar as posições dos veículos no instante que é pedido.

Usando a x a u t o t para determinar a posição do automóvel no instante t = 3   s , sabendo que sua aceleração é a a = 4   m / s 2 :

x a u t o t = a t 2 2

x a u t o ( 3 ) = 1 2 × 4 × 3 2 = 18   m

De maneira análoga, usaremos a x c a m ( t ) para determinar a posição do caminhão no mesmo instante t = 3   s , sabendo que sua velocidade é constante e igual a v 0 = 8   m / s :

x c a m t = v 0 t

x c a m ( 3 ) = 8 × 3 = 24   m

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com a posição de cada veículo em mãos, vamos usar a equação para o centro de massa x c m para determinar a coordenada do eixo x do sistema:

x c m = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2

x c m = x a u t o m a u t o + x c a m m c a m m a u t o + m c a m

x c m = 18 × 1000 + 24 × 2000 3000 = 22   m

Beleza? Agora vamos analisar a velocidade!

Passo 4

Letra (b): Aí para a velocidade, o automóvel trafega em MUV, já o caminhão em MRU.

Para o automóvel a equação para a velocidade para um MRUV é dada por:

v a u t o t = v 0 + a t  

Agora podemos determinar a velocidade do automóvel em t = 3   s :

v a u t o = 4 × 3 = 12   m / s

Beleza? E o caminhão?

O caminhão está com velocidade constante de 8 m / s .

Agora é só usar a equação da velocidade para o centro de massa!

Passo 5

A velocidade do centro de massa é:

v c m = v 1 m 1 + v 2 m 2 m 1 + m 2    

v c m = v a u t o m a u t o + v c a m m c a m m a u t o + m c a m

Agora é só substituir!

v a u t o 3 = 12 m / s

v c a m 3 = 8 m / s

Aí temos:

v c m = 12 × 1000 + 8 × 2000 3000 = 9,3   m / s

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

  1. x c m = 22   m ;
  2. v c m = 9,3   m / s .

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