Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Em uma dada colisão bidimensional, uma bola de bilhar de massa , deslocando-se com velocidade atinge uma segunda bola idêntica, que está inicialmente em repouso, como ilustrado na figura abaixo. Após a colisão, a primeira bola passa a deslocar-se com velocidade de módulo , em uma direção que faz um ângulo de com eixo .

(a) Calcule o valor da velocidade da segunda bola imediatamente após a colisão (expresse seu resultado em termos de ).

(b) Tal colisão é elástica ou inelástica? Justifique quantitativamente sua resposta.

(c) Determine velocidade do centro de massa do sistema antes a depois da colisão. Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Durante a colisão o momento linear do sistema composto pelas duas partículas é conservado. Logo, os momentos lineares do sistema imediatamente antes da colisão:

P a → = m v i ^ + 0

E depois da colisão:

P d → = m v 2 c o s 60 ° i ^ + v 2 s e n 60 ° j ^ + m ( u c o s θ i ^ - u s e n θ j ^ )

Eles são iguais, portanto:

v i ^ = v 2 1 2 i ^ + 3 2 j ^ + u ( c o s θ i ^ - s e n θ j ^ )

Igualando cada direção:

v = v 4 + u c o s θ → u c o s θ = 3 v 4

0 = 3 4 v - u s e n θ → u s e n θ = 3 4 v

Dividindo um pelo outro, temos:

u s e n θ u c o s θ = 3 4 v 3 v 4

t g θ = 3 3 → θ = 30 °

Por outro lado, se elevarmos as duas equações ao quadrado e somarmos, temos:

u 2 = 9 + 3 16 v 2 → u = 3 2 v

Logo:

u → = 3 2 v 3 2 i ^ - 1 2 j ^ = 3 4 i ^ - 3 4 j ^ v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A energia cinética do sistema imediatamente antes da colisão é:

K a = 1 2 m v 2

Enquanto imediatamente após a colisão é:

K d = 1 2 m v 2 4 cos 2 ⁡ 60 ° + v 2 4 s e n 2 60 ° + 1 2 m 9 16 v 2 + 3 16 v 2

K d = 1 4 + 12 16 1 2 m v 2 = 1 2 m v 2

Logo:

K a = K d

Com isso, podemos concluir que a colisão é elástica.

Passo 3

c) Como a resultante das forças externas é nula, não á aceleração no centro de massa e, portanto, a velocidade dele se mantém constante. Logo:

v c m , a = v c m , d = m v i ^ + 0 2 m = v 2 i ^

Resposta

a) u → = 3 4 i ^ - 3 4 j ^ v

b) É elástica. A energia cinética é igual antes e depois da colisão

c) v c m = v 2 i ^

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