Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Colisão

Duas partículas colidem numa superfície sem atrito. As velocidades de ambas antes da colisão são mostradas na figura ao lado. Após a colisão, a partícula A move-se com ( 0,5   m / s )   î . Considere que a massa da partícula A é o dobro da massa da partícula B , ou seja, m A   =   2 m B .

  1. Qual é a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão?
  2. Encontre o vetor velocidade da partícula B após a colisão.
  3. A colisão é elástica? Justifique sua resposta

Passo 1

a):

Nós vamos calcular isso na direção horizontal e vertical.

Mas antes disso, vamos ver, de acordo com os ângulos que a velocidade faz com a horizontal, qual a velocidade que cada uma das partículas tem:

Partícula A :

v a = 1 c o s 60 °   i ^ - s e n 60 ° j ^ = 1 2 i ^ - 3 2 j ^

E a partícula B :

v b = 3 c o s 30 ° i ^ + s e n 30 ° j ^ = 3 3 2 i ^ + 1 2 j ^ = 3 2 i ^ + 3 2 j ^

Beleza? Agora vamos calcular tanto na horizontal como na vertical, de acordo com a massa de cada uma:

Horizontal:

v h = 2 m B . 1 2 + m B . 3 2 3 m B = 1 + 3 2 3 = 2 6 + 3 6 = 5 6   m / s

Agora na vertical:

Vertical:

v v = - 2 m b . 3 2 + m b . 3 2 3 m b = - 3 3 + 3 6 = - 2 3 + 3 6 = - 3 6 m / s

Então, a velocidade do centro de massa é:

v c m → = 5 6   m / s i ^ + - 3 6   m / s j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Fazendo o cálculo da conservação de momento na horizontal:

m a v a ' + m b v b ' = m a v a ' ' + m b v b ' '

Onde:

v a ' = 1 2 m / s

v b ' = 3 2   m / s

v a ' ' = 0,5   m / s

Então:

2 m b . 1 2 + m b . 3 2 = 2 m b . 1 2 + m b v b ' '

1 + 3 2 = 1 + v b ' ' → v b ' ' = 3 2   m / s

E essa é a velocidade horizontal:

v b h = 3 2   m / s

Agora, na vertical:

m a v a ' + m b v b ' = m a v a ' ' + m b v b ' '

Onde:

v a ' = - 3 2   m / s

v b ' = 3 2   m / s

v a ' ' = 0

- 2 m b . 3 2 + m b . 3 2 = 2 m b . 0 + m b v b ' '

v b ' ' v = - 3 2   m / s

Então:

v b = 3 2 m / s i ^ + - 3 2   m / s j ^

Passo 3

c):

Pra saber se ela é elástica ou não, vamos calcular a energia cinética antes e depois.

A energia cinética antes da colisão é dada pela soma das energias cinéticas na horizontal e na vertical:

E C i = m a v a h 2 2 + m b v b h 2 2 + m a v a v 2 2 + m b v b v 2 2

E C i = 2 m b 2 . 1 2 2 + m b 2 . 3 2 2 + 2 m b 2 - 3 2 2 + m b 2 3 2 2

E C i = m b 4 + 9 m b 8 + 3 m b 4 + 3 m b 8

E C i = 5 m b 2

E a energia cinética após a colisão é:

E c f = m a v a h 2 2 + m b v b h 2 2 + m a v a v 2 2 + m b v b v 2 2

= 2 m b 2 . 0,5 2 + m b 2 3 2 2 + 2 m b 2 0 2 + m b 2 - 3 2 2

= m b 4 + 9 m b 8 + 3 m b 8 = 14 m b 8 = 7 m b 4

Como:

5 2 m B ≠ 7 m b 4

E c i ≠ E c f

Então, a energia cinética não se conservou, logo, a colisão não é elástica.

Resposta

a):

v c m → = 5 6   m / s i ^ + - 3 6   m / s j ^

b):

v b = 3 2 i ^ + - 3 2 j ^

c):

A colisão não é elástica.

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