Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Colisões, Sistema de Partículas

Um disco de borracha de 0,500   k g se movimenta inicialmente com vetor velocidade v 1 sobre uma superfície horizontal sem atrito e sofre uma colisão com um disco de borracha de 0,300   k g movendo-se inicialmente com vetor velocidade v 2 . Considere as seguintes situações:

a) Se o vetor velocidade v 1 = 3,00   i   ( m / s ) e o vetor velocidade do centro de massa v C M = 1,00   i + 3,00   j m / s , calcule o vetor velocidade v 2 .

b) Suponha que o vetor velocidade v 1 = 0 e que o vetor velocidade v 2 = 2,00   j   ( m / s ) . Suponha também que após a colisão, o disco de 0,300   k g tem velocidade escalar v igual a 2,00   m / s e faz um ângulo θ = 50,0 o em relação ao eixo x positivo. Determine a velocidade do disco de 0,500   k g após a colisão.

c) Suponha finalmente que o vetor velocidade v 1 = 2,00   i   ( m / s ) e que o vetor velocidade v 2 = 1,00   j   ( m / s ) e que a colisão é perfeitamente inelástica. Calcule a percentagem de energia perdida nesta colisão.

Passo 1

a)

Vou fazer uma figura pra gente visualizar melhor essa letra a):

Show, vamos continuar! :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula da velocidade do centro de massa!

v C M = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 ,

sendo m 1 e m 2 a massa dos discos de borracha, um de 0,5   k g e outro de 0,3   k g . Digamos que m 1 = 0,5   k g e m 2 = 0,3   k g .

E como v 1 = 3 i , vamos ter

v C M = 0,5 ⋅ 3 i + 0,3 ⋅ v 2 0,5 + 0,3

⇒ v C M = 1,5 i + 0,3 v 2 0,8

Passo 3

Passando isso pra frações que é melhor, dá:

v C M = 3 2 i + 3 10 v 2 4 5

⇒ v C M = 3 2 4 5 i + 3 10 4 5 v 2

⇒ v C M = 3 2 ∙ 5 4 i + 3 10 ∙ 5 4 v 2

⇒ v C M = 15 8 i + 15 40 v 2

⇒ v C M = 15 8 i + 3 8 v 2

Passo 4

Separando v 2 da forma v 2 = v 2 x i + v 2 y j , isso dá:

v C M = 15 8 i + 3 8 v 2 x i + 3 8 v 2 y j

⇒ v C M = 15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j

Passo 5

E pelo enunciado, v C M = 1 i + 3 j , ou seja:

15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j = 1 i + 3 j

Portanto, vamos ter

15 + 3 v 2 x 8 = 1 3 v 2 y 8 = 3

A primeira equação fica:

15 + 3 v 2 x = 8

⇒ 3 v 2 x = - 7

⇒ v 2 x = - 7 3

E pela segunda equação:

v 2 y 8 = 1

⇒ v 2 y = 8

Portanto, v 2 = - 7 3 i + 8 j ≈ - 2,33 i + 8 j .

Passo 6

b)

Agora a massa m 1 começa parada e sofre o choque da massa m 2 . Queremos achar a velocidade final v 1 f da m 1 após a colisão. Dá uma olhada na figura:

Passo 7

Pela conservação do momento linear total, temos:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

⇒ 0 + 0,3 ⋅ 2 j = 0,5 v 1 f + 0,3 v 2 f

⇒ 0,6 j - 0,3 v 2 f = 0,5 v 1 f

⇒ v 1 f = 1,2 j - 0,6 v 2 f

E como v 2 f = v 2 f x i + v 2 f y j :

v 1 f = 1,2 j - 0,6 v 2 f x i - 0,6 v 2 f y j

⇒ v 1 f = - 0,6 v 2 f x i + 1,2 - 0,6 v 2 f y j

Passo 8

Beleza, agora precisamos achar v 2 f ! Sabemos que esse vetor faz um ângulo de 50 o com o o eixo x positivo e que seu módulo é 2 . Ou seja, afinal isso é um problema básico de trigonometria:

Assim,

v 2 f x = 2 cos ⁡ 50 o

v 2 f y = 2 sen ⁡ 50 o

Passo 9

Lembrando que achamos

v 1 f = - 0,6 v 2 f x i + 1,2 - 0,6 v 2 f y j

Ou seja,

v 1 f = - 0,6 ⋅ 2 cos ⁡ 50 o i + 1,2 - 0,6 ⋅ 2 sen ⁡ 50 o j

⇒ v 1 f = - 1,2 cos ⁡ 50 o i + 1,2 1 - sen ⁡ 50 o j

Esse seria o valor exato, mas o enunciado fornece os valores cos ⁡ 50 o = 0,643 e sen ⁡ 50 o = 0,766 então

v 1 f = - 1,2 ⋅ 0,643 i + 1,2 1 - 0,766 j

⇒ v 1 f ≈ - 0,772 i + 0,281 j

Passo 10

c)

Chegamos no último caso! A colisão é totalmente inelástica, então os discos saem colados, com a mesma velocidade final v f . Seria mais ou menos assim:

Passo 11

A equação da conservação do momento linear total fica assim:

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 + m 2 v f

⇒ 0,5 ⋅ 2 i + 0,3 j = 0,8 v f

⇒ i + 0,3 j = 0,8 v f

⇒ v f = 1,25 i + 0,3 j

⇒ v f = 1,25 i + 0,375 j

Passo 12

Beleza, mas queremos a porcentagem de energia perdida na colisão. Por energia se entende energia cinética K . E essa porcentagem é dada por

p o r c e n t a g e m = K i n i c i a l - K f i n a l K i n i c i a l

(Vou chamar K i n i c i a l de K i e K f i n a l de K f , beleza?)

Essa fórmula faz sentido porque se K f = 0 , o que ocorreria se os discos parassem, a porcentagem seria K i K i = 1 , ou seja, 100 % da energia seria perdida. Por outro lado, se tivéssemos K f = K i , daria 0 e de fato, nenhuma energia seria perdida.

Enfim, vamos calcular K i e K f !

Passo 13

As velocidades vetoriais são v 1 = 2 i e v 2 = j mas pra calcular a energia cinética precisamos das velocidades escalares, os módulos v 1 = 2 e v 2 = 1 .

Então vamos ter

K i = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

⇒ K i = 1 2 0,5 ⋅ 2 2 + 0,3 ⋅ 1 2

⇒ K i = 1 2 2 + 0,3

⇒ K i = 2,3 2 = 1,15   J

Passo 14

Agora vamos achar K f ! A velocidade vetorial é v f = 1,25 i + 0,375 j então a velocidade escalar é:

v f = 1,25 2 + 0,375 2 ≈ 1,7

Assim,

K f = 1 2 m 1 + m 2 v f 2

⇒ K f = 1 2 0,5 + 0,3 ⋅ 1,7

⇒ K f = 0 , 4 ⋅ 1 , 7 ≈ 0,68   J

Passo 15

Beleza, então agora podemos calcular a porcentagem!

p o r c e n t a g e m = K i - K f K i = 1,15 - 0,68 1,15 ≈ 0 , 409 = 40,9 %

Resposta

a)

v 2 = - 7 3 i + 8 j ≈ - 2,33 i + 8 j

b)

v 1 f = - 1,2 cos ⁡ 50 o i + 1,2 1 - sen ⁡ 50 o j ≈ - 0,772 i + 0,281 j

c)

40,9 %

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