Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Seja um objeto de massa m = 2 k g colocado no topo de um plano inclinado fixo de massa M = 8 k g , base L = 4   m e altura h = 3   m . Considere o objeto como uma massa pontual e despreze o atrito entre o objeto e o plano inclinado.

a) Determine a posição do centro de massa r → C M do conjunto (objeto + plano inclinado) na posição ao lado, antes do objeto ser solto. A posição do centro de massa do plano inclinado é dado por r → P = 2 3 L i ^ + 1 3 h j ^ .

b) O objeto é largado do repouso de desce o plano inclinado. Determine a velocidade do centro de massa v → C M do conjunto imediatamente antes do objeto sair do plano inclinado.

Passo 1

a)

A posição do objeto é dada, segundo a figura, por

r → b l o c o = L i ^ + h j ^

E a posição do centro de massa do plano inclinado é

r → P = 2 3 L i ^ + 1 3 h j ^

O centro de massa do sistema então será

r → C M = m r → b l o c o + M r → P m + M = m L i ^ + h j ^ + M 2 3 L i ^ + 1 3 h j ^ m + M

r → C M = L m + 2 3 M M + m i ^ + h m + 1 3 M M + m j ^ = 4 2 + 2 3 8 8 + 2 i ^ + 3 2 + 1 3 8 8 + 2 j ^

r → C M = 2,93 i ^ + 1,40 j ^   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Antes de sair do plano inclinado o bloco terá uma velocidade v que podemos obter por conservação de energia. Inicialmente o bloco só tem energia potencial gravitacional e na base do plano o bloco tem somente energia cinética, assim

E i = E f

m g h = 1 2 m v 2 → v = 2 g h = 2 × 9,8 × 3

v = 7,67   m / s

Passo 3

Calculamos o módulo da velocidade, só que precisamos do vetor velocidade. Esse vetor tem que está na mesma direção do plano inclinado.

As componentes x e y desse vetor v → obedece as mesmas relações métricas que o triângulo retângulo do plano inclinado

v → = v ( - cos ⁡ θ i ^ - s e n θ j ^ )

A hipotenusa desse plano inclinado é

D = h 2 + L 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25

D = 5   m

Assim

cos ⁡ θ = L D = 4 5

s e n θ = h D = 3 5

Finalmente a velocidade do objeto será

v → = 7,67 - 4 5 i ^ - 3 5 j ^

v → = - 6,13 i ^ - 4,60 j ^   m / s

Passo 4

Como o plano está parado, a sua velocidade será zero

v → P = 0

Assim a velocidade do centro de massa do sistema será

v → C M = m v → + M v → P m + M = 2 - 6,13 i ^ - 4,60 j ^ + 8 0 2 + 8

v → C M = - 1,23 i ^ - 0,92 j ^   m / s

Resposta

a) r → C M = 2,93 i ^ + 1,40 j ^   m

b) v → C M = - 1,23 i ^ - 0,92 j ^   m / s

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