Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Dê as respostas em notação científica, no sistema internacional de unidades considerando rigorosamente o conceito de algarismos significativos.

Dois blocos de massa m 1 = 10,1   k g e m 2 = 15,0   k g separados por uma distância d = 2,50   m se movem no sentido do eixo x positivo com v → 1 i = 7,50   i ^   m / s e v → 2 i = 5,00   i ^   m / s e vão sofrer uma colisão perfeitamente inelástica. Considere que no instante inicial o bloco de massa m 2 se encontre na origem do sistema de coordenadas na posição x = 0 . Trate os blocos como massas pontuais.

a) Determine X C M t que é a equação que governa o movimento do centro de massa do sistema em função do tempo.

b) Determine o vetor velocidade final V → f dos blocos após a colisão.

Passo 1

Na letra (a), queremos a posição do centro de massa do sistema em função do tempo X C M t .

Nós temos as posições iniciais dos blocos e suas velocidades...

Com, isso conseguimos escrever a posição X t deles em função do tempo.

Então, primeiro, vamos escrever a posição dos dois blocos em função do tempo X 1 t e X 2 t , para depois calcular a posição do centro de massa em função do tempo entre eles X C M t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como eles têm uma velocidade constante, a posição pode ser escrita como:

X t = X 0 + v . t

Onde X 0 é a posição inicial e v a velocidade.

O bloco 2 está inicialmente na origem:

X 2 0 = 0

Agora, vamos pensar...

Os dois blocos andam no mesmo sentido ( x positivo), para eles colidirem, o bloco com maior velocidade (bloco 1) está atrás do bloco com menor velocidade (bloco 2).

Como a distância entre eles é d = 2,50   m , a posição inicial do bloco 1 é:

X 1 0 = - 2,50   m

Agora, já podemos escrever a posição deles em função do tempo:

X 1 t = X 1 0 + v 1 i . t

X 2 t = X 2 0 + v 2 i . t

Substituindo os valores, temos:

X 1 t = - 2,50 + 7,50 t

X 2 t = 0 + 5,00 t

Passo 3

A posição do centro de massa será:

X t = m 1 X 1 t + m 2 X 2 t m 1 + m 2

X t = 10,1 - 2,50 + 7,50 t + 15,0 5,00 t 10,1 + 15,0

Sobre os algarismos significativos... vamos fazer a conta com os números exatos e depois contabilizar quantos algarismos significativos deve ter a resposta.

X t = - 2 5,25 ) + ( 75 , 75 t + 7 5,0 t 2 5 , 1

X t = - 25,25 25,1 + 150,75 t 25,1

Passo 4

Todos os nossos dados iniciais têm 3 algarismos significativos, então, após realizar as multiplicações, somas e divisões, nosso resultado deve ter 3 algarismos significativos.

Então, temos:

- 25,25 25,1 = - 1,005976096

Arredondando para 3 algarismos significativos, teremos:

- 25,25 25,1 = - 1,0 1

A outra divisão resulta em:

150,75 t 25,1 = 6,00 5976096 t

Arredondando para 3 algarismos significativos, temos:

150,75 t 25,1 = 6,0 1 t

Assim, nossa resposta da letra (a) é:

X C M t = - 1,01 + 6,01 t   m / s

Passo 5

Na letra (b), queremos a velocidade final dos blocos na forma de vetor V → f .

Como estamos trabalhando apenas ao longo do eixo x , já sabemos que a direção do vetor será:

V → f → i ^

E o módulo e sentido da velocidade?

Como a colisão é livre da ação de forças externas (força externa resultante nula), o momento linear do sistema se conserva:

p 0 = p

Além disso, os blocos saem da colisão juntos (colisão perfeitamente inelástica), então:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 + m 2 V f

V f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i m 1 + m 2

Passo 6

Substituindo os valores, consegueríamos V f .

Mas tem uma maneira ainda mais fácil de descobrir V f ...

Lembra que no item (a) achamos a expressão da posição do centro de massa em função do tempo?

X C M t = - 1,01 + 6,01 t   m  

Como a velocidade é constante, podemos comparar com uma equação da posição em função do tempo para um movimento uniforma:

X t = X 0 + v . t

O termo que multiplica o tempo t é a velocidade, então, já temos de cara o valor da velocidade do centro de massa:

V C M = 6,01   m / s

OBS: A V C M não se altera na colisão, pois o momento linear se conserva.

Como os blocos (sistema) estão juntos, a velocidade deles é a própria velocidade do centro de massa:

V f = V C M = 6,01   m / s

Assim, o vetor velocidade final dos blocos é:

V → f = 6,01   i ^   m / s

Resposta

(a)

X C M t = - 1,01 + 6,01 t   m

(b) V → f = 6,01   i ^   m / s

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