Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Colisão

Duas partículas se deslocando em uma superfície horizontal sem atrito colidem elasticamente. Observando a colisão no referencial do Centro de Massa, analise as afirmações abaixo:

I -O módulo da velocidade de cada uma das partículas é o mesmo antes e depois da colisão.

I I -Ambas as partículas se desviam de um mesmo ângulo de sua trajetória inicial.

I I I -O momento linear total do sistema é nulo.

São corretas as afirmações:

  1. Somente I .
  2. Somente I   e   I I .
  3. Somente I I .
  4. Somente I I   e   I I I .
  5. Todas as afirmações.

Passo 1

Bom galera, essa questão é bem complicadinha.

Vamos lá, vamos analisar uma por uma:

I :

Bom, vamos analisar uma situação hipotética de colisão elástica, fazer os cálculos, e ver se isso se confirma. Se der certo, vamos supor que isso vale para todas as colisões elásticas, de todos os tipos.

A nossa colisão vai ser entre uma massa m que se deslocava com velocidade v   e atinge uma M , inicialmente em repouso.

A conservação do momento linear nos diz que:

m v = m v 1 + M v 2

E a conservação da energia diz que:

m v 2 2 = m v 1 2 2 + M v 2 2 2

Beleza?

Primeiro vamos analisar quanto valia a velocidade de m no referencial do centro de massa.

Pra fazer isso, basta a gente calcular a velocidade relativa entre v e a velocidade do centro de massa.

A velocidade do centro de massa vale:

v C M = m v M + m

Então:

v r e l = v - m v M + m = M v m + M

Agora vamos calcular a velocidade da partícula de massa m após a colisão, isso é, v 1 :

Isolando v 2 na primeira equação:

v 2 = m v - v 1 M

Substituindo na segunda:

m v 2 2 = m v 1 2 2 + M v 2 2 2

m v 2 = m v 1 2 + M v 2 2

m v 2 = m v 1 2 + M . 1 M 2 . m 2 v - v 1 2

M m v 2 = M m v 1 2 + m 2 v - v 1 2

M m v 2 = M m v 1 2 + m 2 v 1 2 - 2 v 1 v + v 2

M m v 2 = M m v 1 2 + m 2 v 1 2 + v 1 - 2 m 2 v + m 2 v 2

v 1 2 M m + m 2 + v 1 - 2 m 2 v + v 2 m 2 - m M = 0

Ufa! Chegamos nessa equação do segundo grau ai. Bom, resolvendo ela:

∆ = b 2 - 4 a c = 4 m 4 v 2 - 4 M m + m 2 . v 2 m 2 - m M

= 4 v 2 m 4 - 4 v 2 M m 3 - M 2 m 2 + m 4 - M m 3

= 4 v 2 m 4 + 4 v 2 M 2 m 2 - 4 v 2 m 4 = 4 v 2 M 2 m 2

Então:

∆ = 4 v 2 M 2 m 2

Assim:

∆ = 2 v M m

Então:

v 1 = - b ∓ ∆ 2 a = 2 v m 2 ∓ 2 v M m 2 M m + m 2

Escolhendo o sinal ( Tente usar o + e você vai ver que o resultado é v , o que não faz sentido, já que houve uma colisão):

v 1 = 2 v m 2 - M m 2 M m + m 2

Simplificando:

v 1 = v . m - M M + m

Show?

Ufa, pesada né?

Bem, vamos calcular a velocidade relativa, a velocidade no centro de massa, de novo. Lembre-se, como foi uma colisão, o centro de massa continua viajando com a mesma velocidade de antes.

Assim:

v r e l = v 1 - v c m = v . m - M M + m - m v M + m = - M v M + m

Beleza?

Como antes era:

v r e l I = M v M + m

E depois:

v r e l I I = - M v M + m

Podemos perceber que a velocidade relativa, ou seja, a velocidade no referencial do centro de massa, continua a mesma.

Então:

Verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

I I -

Esse é o caso bidimensional da I . Então, seguindo o mesmo raciocínio, podemos dizer que ela também é verdadeira:

Verdadeira.

Passo 3

I I I -

Não podemos supor isso. Provavelmente essa é uma pegadinha relacionada ao fato de que:

Numa colisão, as forças externas são nulas. Logo, a variação do momento angular do centro de massa é nula.

Ou matematicamente:

F e x t = d L d t = 0 → L = c t e

Mas isso não quer dizer que L é nulo, e sim que é constante.

Então:

Falsa.

Resposta

b)

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