Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Em uma colisão bidimensional com força resultante externa nula, duas partículas de mesma massa, m = 4,0   k g , colidem elasticamente como mostra a figura. Antes da colisão a velocidade da partícula 1 é v → 1 i = 1,0   i ̂   m / s e a partícula 2 está em repouso. O ângulo da velocidade v → 1 f com o eixo x é θ 1 = 30 ° .

(a) Determine a velocidade v → 1 f da partícula 1 após a colisão.

(b) Obtenha o impulso I → 1 sobre a partícula 1 durante a colisão.

(c) Encontre a velocidade inicial da partícula 2 em relação ao centro de massa do sistema.

Passo 1

Temos uma colisão bidimensional. Uma informação muito importante é que a força resultante externa no sistema é nula, pois isso significa que podemos considerar a colisão em um sistema isolado. Logo temos que o momento linear se conserva:

p → 0 = p →

Além disso, ele diz que as partículas colidiram elasticamente, logo a energia cinética do sistema se conserva:

K 0 = K

Beleza, temos um bom ponto de partida para achar qualquer informação sobre essa colisão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos a velocidade da partícula 1 após a colisão v → 1 f .

Como temos as massas e a velocidade inicial no sistema, podemos tentar usar a conservação do momento linear. Lembrando que podemos separar os eixos e dizer que o momento linear se conserva tanto em x quanto em y .

p x 0 = p x p y 0 = p y

Não sabemos a velocidade final nem da partícula 1 nem da partícula 2.

Mas como temos duas equações de conservação ( x e y ), nós, normalmente, conseguiríamos achar essas duas incógnitas. Entretanto, não sabemos o ângulo θ 2 , ou seja, mais uma incógnita. Portanto, além disso, também precisaremos usar a conservação da energia cinética.

Passo 3

Vamos começar com essas duas equações de momento linear, mas primeiro vamos decompor as velocidades nas suas componentes verticais e horizontais.

Conservando o momento linear em x temos:

m v 1 i = m v 1 f c o s 30 ° + m v 2 f c o s θ 2

v 1 i = v 1 f c o s 30 ° + v 2 f c o s θ 2

Já em y , temos:

0 = m v 1 f s e n 30 ° + m - v 2 f s e n θ 2

v 1 f s e n 30 ° = v 2 f s e n θ 2

Passo 4

Vamos relacionar as energias cinéticas, agora. Lembrando que energia cinética é um escalar (não apresenta direção e sentido), logo devemos usar o módulo das velocidades:

K 0 = K

m v 1 i 2 2 = m v 1 f 2 2 + m v 2 f 2 2

v 1 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Passo 5

Temos agora um sistema assim:

v 1 i = v 1 f c o s 30 ° + v 2 f c o s θ 2 v 1 f s e n 30 ° = v 2 f s e n θ 2 v 1 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Esse sistema é meio chatinho de se resolver...

Não se assusta com o que eu vou fazer, segura na minha mão e vem comigo!

Quando temos uma partícula colidindo com outra em repouso, as duas sempre saem da colisão fazendo um ângulo de 90 ° .

Po se eu só escutasse isso aí solto, eu também não ia aceitar de boas.

Mas olha para como ficou a equação da conservação da energia cinética:

v 1 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Olha a viagem, agora...

Podemos dizer que essa relação segue o teorema de pitágoras. Lembra aquela lei que a gente quase não usa...

Então podemos pensar que as velocidades v 1 f (b) e v 2 f (c) como os catetos de um triângulo retângulo, onde a hipotenusa (a) é v 1 i .

Com isso, concluimos que os vetores v → 1 f e v → 2 f fazem 90 ° entre si:

  v → 1 f   ⊥   v → 2 f

Ahhhhh, que isso!

Então, a gente consegue θ 2 mole:

θ 1 + θ 2 = 90 °

30 ° + θ 2 = 90 °

θ 2 = 60 °

Passo 6

Agora nosso sistema melhorou um pouquinho, podemos usar:

v 1 i = v 1 f c o s 30 ° + v 2 f c o s 60 ° v 1 f s e n 30 ° = v 2 f s e n 60 °

Com a primeira equação, temos:

v 1 i = v 1 f 3 2 + v 2 f 1 2

1 = v 1 f 3 2 + v 2 f 1 2

v 2 f 2 = 1 - v 1 f 3 2

v 2 f = 2 - v 1 f 3

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:

v 1 f s e n 30 ° = v 2 f s e n 60 °

v 1 f 1 2 = v 2 f 3 2

v 1 f 1 2 = 2 - v 1 f 3 3 2

v 1 f = 2 - v 1 f 3 3

v 1 f = 2 3 - 3 v 1 f

4 v 1 f = 2 3

v 1 f = 3 2   m / s

Passo 7

Achamos o módulo da velocidade, vamos achar, agora, as componentes em x e y da velocidade para responder quem é o vetor v → 1 f .

A componente em x (horizontal) é:

v 1 f x = v 1 f c o s 30 °

v 1 f x = 3 2 3 2

v 1 f x = 3 4

v 1 f x = 0,75   m / s

Já a componente em y (vertical) é:

v 1 f y = v 1 f s e n 30 °

v 1 f y = 3 2 1 2

v 1 f y = 3 4

v 1 f y = 0,43   m / s

Logo, a velocidade da partícula 1 após a colisão é:

v → 1 f = 0,75   i ^ + 0,43   j ^   m / s

Passo 8

Na letra (b), queremos o impulso I → 1 sobre a partícula 1.

Agora que descobrimos a velocidade final de 1, repara que temos tudo que é necessário para achar a variação de momento linear ∆ p → dessa partícula.

Repara que no sistema não há variação de momento linear, porém, em cada partícula separadamente, temos uma variação sim.

Mas para que isso?

Lembra daquele teorema ipulso-momento linear?

I → = ∆ p →

Podemos aplicá-lo sobre a partícula 1:

I → 1 = ∆ p → 1

Passo 9

Então, vamos calcular esse impulso I → 1 :

I → 1 = m v → 1 f - m v → 1 i

I → 1 = m v → 1 f - v → 1 i

I → 1 = 2,0 0,75   i ^ + 0,43   j ^   - 1,0   i ^

I → 1 = 4,0 - 0,25     i ^ + 0,43   j ^

  I → 1 = - 1,0   i ^ + 1,72   j ^   N . m

Passo 10

Na letra (c), queremos a velocidade inicial da partícula 2 em relação ao centro de massa do sistema.

Como já sabemos que, inicialmente, a partícula 2 está em repouso, basta acharmos a velocidade do centro de massa e depois calcular essa velocidade relativa.

Para achar a velocidade do centro de massa, devemos fazer uma média ponderada das velocidades de cada partícula do sistema.

Vamos achar v → C M :

v → C M = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 + … m 1 + m 2 + …

v → C M = m v → 1 i + m v → 2 i m + m

v → C M = m ( v → 1 i + v → 2 i )   2 m

v → C M = ( v → 1 i + v → 2 i )   2

Substituindo os valores das velocidades, temos:

v → C M = 1,0   i ^ + 0   2

v → C M = 0,5   i ^   m / s

Passo 11

Bom, já temos as velocidades do centro de massa v → C M e da partícula 2 v → 2 i . Para achar a velocidade da partícula 2 com relação ao centro de massa, basta subtrairmos a velocidade da partícula 2 da velocidade do novo referencial (centro de massa):

v → 2 / C M =   v → 2 i - v → C M

v → 2 / C M = 0 - 0,5   i ^

v → 2 / C M = - 0,5   i ^   m / s

Prontinho, achamos a resposta da letra (c).

Resposta

(a)

v → 1 f = 0,75   i ^ + 0,43   j ^   m / s

(b)

I → 1 = - 1,0   i ^ + 1,72   j ^   N . m

(c)

v → 2 \ C M = - 0,5   i ^   m / s

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