Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

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Enunciado

4 . No referencial da Terra o c a r r o 1 está se aproximando com velocidade v T 1 i do c a r r o 2 , que está inicialmente em repouso. Os carros estão em um trilho de ar e o c a r r o 1 tem cinco vezes a inércia do c a r r o 2 . Eles colidem elasticamente. Calcule as velocidades antes e depois da colisão:

a ) No referencial da Terra.

b ) No referencial de momento zero.

c ) Faça um gráfico do momento linear dos carros em função do tempo para o referencial de momento zero. Considere t 0 = 0 , ∆ t c o l i s s a o = t 2 - t 1 e t 3 o tempo após a colisão. Coloque no gráfico os resultados para as velocidades obtidos no item precedente.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Nesse problema como temos uma colisão elástica, vamos ter conservação de energia e conservação de momento.

Vamos chamar a massa do c a r r o 2 de m , logo a do c a r r o 1 vai ser 5 m .

Temos o seguinte para a conservação do momento:

m a v a + m b v b = m a v a f + m b v b f

⇒ m b v b - v b f = m a v a f - v a

Para a conservação da energia temos:

1 2 m a v a 2 + 1 2 m b v b 2 = 1 2 m a v a f 2 + 1 2 m b v b f 2

⇒ m b v b 2 - v b f 2 = m a v a f 2 - v a 2

⇒ m b v b - v b f v b + v b f = m a v a f - v a v a f + v a

Dividindo o que encontramos na conservação da energia por o que encontramos na conservação de momento, temos:

v b + v b f = v a f + v a

⇒ v b f - v a f = v a - v b

E usando essa relação nas equações da conservação do momento e da energia que encontramos, temos o seguinte:

v a f = v a m a - m b + 2 v b m b m a + m b

v b f = v b m b - m a + 2 v a m a m a + m b

A partir dessas equações podemos encontrar tudo o que o enunciado pede, vamos chamar a de 1 referente ao c a r r o 1 e b de 2 referente ao c a r r o 2 .

Um conceito que aparece no enunciado é o de referencial de momento zero, nesse referencial o momento do sistema deve ser zero, que acaba sendo o referencial do centro de massa do sistema.

Então ara acharmos as velocidades dos carros nesse referencial, temos que saber a velocidade do centro de massa, dada por:

v c m = m a v a + m b v b m a + m b

Tendo essa velocidade a gente consegue achar a velocidade dos carros nesse novo referencial.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

As velocidades antes da colisão já foram dadas, a do c a r r o 1 = v T 1 i e do c a r r o 2 = 0 .

Para saber as velocidades depois da colisão vamos usar as equações que chegamos no passo 1 para v a f e v b f , só temos que tomar cuidado com os índices.

Para o c a r r o 1 :

v T 1 f = v T 1 i m 1 - m 2 + 2 v T 2 i m 2 m 1 + m 2

Usando que m 1 = 5 m , m 2 = m e v T 2 i = 0 , temos:

v T 1 f = v T 1 i 5 m - m + 2 ( 0 ) m 5 m + m

= 4 m v T 1 i 6 m

Logo temos que:

v T 1 f = 2 3 v T 1 i

Para o c a r r o 2 :

v T 2 f = v T 2 i m 2 - m 1 + 2 v T 1 i m 1 m 2 + m 2

Substituindo com o que sabemos, temos:

v T 2 f = ( 0 ) m - 5 m + 2 v T 1 i 5 m 5 m + m

= 10 m v T 1 i 6 m

Logo temos que:

v T 2 f = 5 3 v T 1 i

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

No referencial de momento zero, tanto o momento antes da colisão quanto o depois tem que ser zero e esse referencial que faz com o momento seja zero se move com a velocidade do centro de massa.

Vamos calcular essa velocidade então, temos:

v c m = m 1 v T 1 i + m 2 v T 2 i m 1 + m 2

= 5 m v T 1 i 5 m + m

Logo temos que:

v c m = 5 6 v T 1 i

Esse referencial se move na mesma direção que o c a r r o 1 , então a velocidade dele nesse referencial vai ser dada por:

v P 1 i = v T 1 i - 5 6 v T 1 i = 1 6 v T 1 i

E esse referencial se move contra o c a r r o 2 , assim a velocidade desse carro nesse referencial é dada por:

v P 2 i = - 0 + 5 6 v T 1 i = - 5 6 v T 1 i

Esse sinal de menos é vem do fato que o c a r r o 2 está se movendo no sentido contrário.

Passo 4

Agora vamos ver para depois da colisão.

Depois da colisão o c a r r o 1 se move no mesmo sentido que o referencial do centro de massa, já que a velocidade que encontramos pra ele no referencial da Terra é positivo, assim:

v P 1 f = 2 3 v T 1 i - 5 6 v T 1 i = - 1 6 v T 1 i

O c a r r o 2 também se move no mesmo sentido do referencial do centro de massa, pelo mesmo motivo que o c a r r o 1 , assim:

v P 2 f = 5 3 v T 1 i - 5 6 v T 1 i = 5 6 v T 1 i

Passo 5

Agora para o item ( c ) temos que montar o gráfico do momento de cada carro no referencial de momento zero, antes e depois da colisão.

Primeiro temos que saber o valor desses momentos. Para o c a r r o 1 , temos:

p 1 i = 5 m 1 6 v T 1 i = 5 6 m v T 1 i

p 1 f = 5 m - 1 6 v T 1 i = - 5 6 m v T 1 i

Para o c a r r o 2 , temos:

p 2 i = m - 5 6 v T 1 i = - 5 6 m v T 1 i

p 2 f = m 5 6 v T 1 i = 5 6 m v T 1 i

Como não temos o valor da massa e de v T 1 i vamos montar um gráfico de p m v T 1 i × t . Então o gráfico fica da seguinte maneira:

Resposta

( a )

c a r r o 1 :

v T 1 i

v T 1 f = 2 3 v T 1 i

c a r r o 2 :

v T 2 i = 0

v T 2 f = 5 3 v T 1 i

( b )

c a r r o 1 :

v P 1 i = 1 6 v T 1 i

v P 1 f = - 1 6 v T 1 i

c a r r o 2 :

v P 2 i = - 5 6 v T 1 i

v P 2 f = 5 6 v T 1 i

( c )

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