Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Colisão

Uma partícula de massa m move-se inicialmente com velocidade de módulo u ao longo de uma trajetória retilínea que forma um ângulo de θ 1 com o eixo X , como mostra a figura. Ela colide com uma segunda partícula que tem duas vezes sua massa, isto é m 2 = 2 m , que está movendo-se ao longo da direção X e sentido positivo com velocidade de módulo três vezes maior que u , ou seja: v 2 = 3 u . Depois da colisão, a primeira partícula move-se ao longo da direção Y e sentido negativo, enquanto que a segunda partícula continua a mover-se ao longo do eixo X e sentido positivo, com uma velocidade escalar reduzida. Considere que não atuam forças externas sobre as partículas. Se na solução de algum item abaixo for usada alguma lei de conservação, justifique-a.

  1. Determine o vetor momento linear total inicial para este sistema de duas partículas;
  2. Calcule os módulos das velocidades de ambas as partículas depois da colisão em função dos dados do problema;
  3. Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colisão.

Dados: cos ⁡ θ 1 = 3 / 5 ; sen ⁡ θ 1 = 4 / 5 .

Passo 1

a)

Para acharmos o momento linear total inicial devemos achar o momento linear de cada partícula, para a partícula 2

v → 2 0 = 3 u   i ^

Então

p → 2 0 = m 2 ⋅ v → 2 0

p → 2 0 = 2 m ⋅ 3 u i ^ = 6 m u   i ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a partícula 1 temos que decompor as componentes da velocidade, usando a regra do “COlado/SEparado”

v 1 0 x = - v 1 0 ⋅ cos ⁡ θ 1 = - u ⋅ cos ⁡ θ 1 = - u ⋅ 3 5 = - 3 u 5

v 1 0 y = - v 1 0 ⋅ sen ⁡ θ 1 = - u ⋅ sen ⁡ θ 1 = - u ⋅ 4 5 = - 4 u 5

Ambos são negativos porque o corpo vai para esquerda e para baixo.

Escrevendo isso vetorialmente

v → 1 0 = - 3 u 5 i ^ - 4 u 5 j ^

O momento linear fica

p → 1 0 = m ⋅ u →

p → 1 0 = - 3 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^

Passo 3

O momento linear inicial do sistema fica

p → s i s t e m a 0 = p → 2 0 + p → 1 0

p → s i s t e m a 0 = 6 m u i ^ - 3 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^

p → s i s t e m a 0 = 6 m u - 3 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^

p → s i s t e m a 0 = 27 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^

Passo 4

b)

Como não temos forças externas atuando o momento linear é conservado

A velocidade da partícula 2 vai ser

v → 2 = v 2 i ^

E seu momento linear

p → 2 = m 2 ⋅ v → 2

p → 2 = 2 m v 2 i ^

Enquanto a velocidade da primeira partícula vai ser

v → 1 = - v 1 j ^

E seu momento linear

p → 1 = m 1 ⋅ v → 1

p → 1 = - m v 1 j ^

Dando o seguinte momento linear do sistema

p → sistema = 2 m v 2 i ^ - m v 1 j ^

Isso segundo os dados do enunciado. Lembrando que ai temos os módulos das velocidades

Passo 5

Igualando ao momento linear inicial

p → sistema 0 = p → sistema

27 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^ = 2 m v 2   i ^ - m v 1   j ^

Vamos encontrar

2 m v 2 = 27 m u 5

v 2 = 27 u 10

E

- m v 1 = - 4 m u 5

v 1 = 4 u 5

Essas velocidades tem o mesmo sinal do enunciado. : )

Passo 6

c)

A velocidade do centro de massa pode ser calculada pelo momento de inércia do sistema como já vimos nos exercícios de fixação

v → C M = p → sistema m 1 + m 2

v → C M = 27 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^   m + 2 m

v → C M = 9 u 5 i ^ - 4 u 15 j ^

Como momento linear se conserva após a colisão, p → sistema 0 = p → sistema

a gente pode concluir que a velocidade do centro de massa é a mesma antes e depois da colisão.

Resposta

  1. p → sistema 0 = 27 m u 5 i ^ - 4 m u 5 j ^
  2. v 1 = 4 u 5           e           v 2 = 27 u 10
  3. v → C M = 9 u 5 i ^ - 4 u 15 j ^ , antes e após a colisão.

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