Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.2

A figura mostra dois veículos que colidem de modo totalmente inelástico num cruzamento 90 ° . A velocidade dos escombros conjuntos tem valor v f = 16,0   m / s imediatamente após a colisão e direção que faz 24 ° com o eixo y . O veículo 1 , que vinha no eixo x da figura, tem massa m 1 = 950   k g , e o veículo 2 tem massa m 2 = 1900   k g . Considere o sistema isolado durante a colisão.

a Forneça o vetor momento linear do centro de massa do sistema imediatamente depois da colisão, P → C M f , e imediatamente antes da colisão, P → C M i . Justifique.

b   Qual a velocidade escalar de cada veículo antes da colisão?

c Forneça o vetor força que atuou sobre o veículo 1 , F → 1 , sabendo que a colisão teve duraçãoo de 0,20   s .

Passo 1

Quando estamos lidando com uma colisão totalmente inelástica, devemos lembrar que nesse tipo de colisão, os objetos envolvidos tem a mesma velocidade final, ou seja, eles saem juntos.

a   Para calcular o vetor momento dos corpos depois da colisão, devemos primeiro lembrar da sua definição:

P → C M = m C M . v → C M

Depois da colisão, pelo fato de os carros terem a mesma velocidade, temos:

P → C M = m 1 + m 2 . v → f

Para determinar o vetor momento em relação aos eixos, vamos decompor ele em suas componentes x e y .

Em x , temos:

P → C M x f = m 1 + m 2 . v f . sen ⁡ 24 ° ( i ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M x f = 950 + 1900 . 16 .   0,407   ( i ^ )

P → C M x f = 18.559   i ^   k g . m / s

Em y , temos:

P → C M y f = m 1 + m 2 . v f . cos ⁡ 24 °   ( j ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M y f = 950 + 1900 . 16 .   0,914   ( j ^ )

P → C M y f = 41.678   j ^   k g . m / s

Portanto, o vetor momento depois da colisão é:

P → C M f = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Por se tratar de um sistema isolado, onde forças externas não estão atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear, desse modo o vetor momento do sistema antes da colisão será igual ao vetor momento linear depois da colisão:

P → C M f = P → C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Pelo fato de os carros estarem posicionados conforme mostra a figura, percebemos, que antes da colisão, a componente x do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 1 , que vinha no eixo x .

Analogamente a componente y do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 2 , que vinha no eixo y . Com isso em mente, temos:

Para o veículo 1 :

P C M i x = m 1 . v 1

Substituindo os valores, temos:

18.559 = 950 . v 1

v 1 = 19,5   m / s

Para o veículo 2 :

P C M i y = m 2 . v 2

Substituindo os valores, temos:

41.678 = 1900 . v 2

v 2 = 21,9   m / s

Passo 3

c

Para determinar a força que atuou sobre o veículo 1 , precisamos lembrar do teorema Força-Impulso, ele nos diz:

F → = I → Δ t = Δ P → Δ t

Como temos a velocidade do veículo 1 antes v → 1 e depois da colisão v → f , podemos achar a força

F → 1 = Δ P → Δ t = m 1 . v → f - v → 1 Δ t

Substituindo os valores, temos:

F → 1 = 950 . v f . sen ⁡ 24 ° i ^ + v f . cos ⁡ 24 ° j ^ - v 1 ( i ^ ) Δ t

Veja que estamos decompondo a velocidade final, pois queremos descobrir o vetor força, e a melhor maneira é determinar as componentes em separado.

F → 1 = 950 . 16,0 . sen ⁡ 24 ° i ^ + 16,0 . cos ⁡ 24 ° j ^ - 19,5 ( i ^ ) 0,20

F → 1 = 950 - 12,99 i ^ + 14,62 j ^ 0,20

F → 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

Resposta

a P → C M f = P → C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

b v 1 = 19,5   m / s ; v 2 = 21,9   m / s

c F → 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

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