Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

UFRJ – Física 1 – P2 – 2019.2 – Discursiva

Dois objetos de dimensões desprezíveis, de massas m e 2 m , movem-se no plano x y , livres de forças externas, com velocidades v 1 → = v 0 ( i ^ + j ^ ) e v 2 → = v 0 ( i ^ - j ^ ) respectivamente, onde i ^ e j ^ representam os unitários dos eixos cartesianos. Supondo que os dois objetos se choquem numa colisão totalmente inelástica, determine

  1. As velocidades do centro de massa do sistema, antes e depois da colisão;
  2. Os momentos lineares p 1 ' → e p 2 ' → dos objetos, no referencial de centro de massa, antes da colisão.
  3. Que fração da energia cinética é “perdida” com a colisão.

Passo 1

Se liga! Para resolver o item (a), precisamos começar lembrando que, quando temos dois objetos, a velocidade do centro de massa é dada por

v → C M = m 1 v 1 → + m 2 v 2 → m 1 + m 2 .

No enunciado ele disse que

m 1 = m ;         m 2 = 2 m

E antes da colisão

v 1 → = v 0 i ^ + j ^ ;         v 2 → = v 0 ( i ^ - j ^ )

Substituindo na expressão da velocidade do centro de massa, temos

v → C M = m v 0 i ^ + j ^ + 2 m v 0 ( i ^ - j ^ ) m + 2 m = v 0 ( 3 i ^ - j ^ ) 3

Levando em consideração que na ausência de forças externas a velocidade do centro de massa se conserva, a velocidade depois da colisão também é dada por

v → C M = v 0 ( 3 i ^ - j ^ ) 3

Acabamos o item (a). Vamos atacar o item (b)?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b), ele pede o momento linear dos dois objetos, no referencial do centro de massa, antes e depois da colisão.

Vamos lembrar que o momento é dado por

p → = m v → .

Só que a velocidade relativa ao centro de massa é dada por

v ' → = v → - v C M → .

Então, agora precisamos calcular esta velocidade para cada objeto. Antes da colisão, para o objeto 1, temos

v 1 ' → = v 1 → - v C M → = v 0 i ^ + j ^ - v 0 ( 3 i ^ - j ^ ) 3

v 1 ' → = 4 3 v 0 j ^ .

Portanto

p 1 ' → = 4 3 m v 0 j ^

Passo 3

Levando em consideração que a colisão é inelástica temos que o momento linear em relação ao centro de massa para cada objeto após a colisão deve ser nulo, portanto, o momento linear total após a colisão também deve ser nulo. Sabendo que o momento linear deve se conservar, temos

p 1 ' → + p 2 ' → = 0

⟹ p 2 ' → = - p 1 ' →

⟹ p 2 ' → = - 4 3 m v 0 j ^ .

Acabamos o item (b).

Passo 4

Para fazer o item (c), precisamos recordar que a energia cinética é dada por

K = m v 2 2 .

Como ele pede fração da energia cinética “perdida” na colisão, vamos calcular a energia no início

K 1 = m 2   v 0 2 i ^ 2 + j ^ 2 2 = m v 0 2

K 2 = 2 m 2   v 0 2 i ^ 2 + j ^ 2 2 = 2 m v 0 2

Portanto

K 0 = 3 m v 0 2 .

Como a colisão é inelástica, os dois objetos se deslocam juntos com a velocidade do centro de massa.

K f = 3 m 2 v 0 2 ( 3 2 + 1 2 ) 3 2 2 = 5 3 m v 0 2

Passo 5

A fração da energia perdida é dada por

f = K 0 - K f K 0 = 1 - K f K 0

f = 1 - 5 3 m v 0 2 3 m v 0 2 = 1 - 5 9

f = 4 9

Pronto! Já fizemos todas os itens.

Resposta

a )   v → C M = v 0 ( 3 i ^ - j ^ ) 3  

b )     A N T E S :       p 1 ' → = 4 3 m v 0 j ^   ;       p 2 ' → = - 4 3 m v 0 j ^

D E P O I S :   p 1 ' → =   p 2 ' → = 0  

c )     f = 4 9

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