Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

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Enunciado

Em um dado instante t   =   0 , observa-se que duas partículas de massas m 1   =   3 ,   0   k g   e m 2   =   2 ,   0   k g estão nas posições r → 1 = - 4,0   i → - 4,0 j → m e r → 2 = + 4,0   i → - 4,0   j → ( m ) movendo-se com velocidades v → 1 = + 2,0   i →   ( m / s ) e v → 2 = + 3,0   j →   ( m / s ) , respectivamente. Passados 2   s , elas são novamente observadas e vê-se que m 2 encontra-se parada. Sabendo-se que elas estão sujeitas somente a forças internas, o vetor posição do centro de massa (em metros) quando t   =   2   s é:

(a) - 0,8   i → - 4,0   j →

(b) + 0,8   i → - 4,0   j →

(c) - 1,2   i → + 1,2   j →

(d) - 1,2   i → + 1,6   j →

(e) + 1,6   i → - 1,6   j →

Passo 1

Cara, que tal desenharmos esse sistema aí para termos uma noção do que está acontecendo?

Bem, o problema nos disse que no tempo t = 0 s , temos duas partículas 1 e 2 que estão localizadas nas posições r → 1 = - 4,0   i → - 4,0 j → e r → 2 = + 4,0   i → - 4,0   j → ...

Nesse momento, o sistema possui um centro de massa R 0 cuja posição ta um pouco mais próxima da massa m 1 por ela ser mais pesada...

Esse centro de massa possui uma velocidade v c m e ele vai ser muito útil para resolvermos o problema. Mas o que o problema quer afinal?

Bem, ele quer que passados t = 2   s a gente encontre a nova posição do centro de massa R .

Ora, como não existem forças externas (apenas interna) o centro de massa vai permanecer numa velocidade constante o tempo todo, isso significa que pela cinemática, podemos encontrar a nova posição do centro de massa por x = v t + x 0 , mas nesse caso, queremos R ...

R → = v → c m t + R → 0

Então repare que para encontrar a posição do centro de massa R no tempo t = 2   s , precisamos primeiro determinar qual é a velocidade v c m e também quem é R 0 . Vamos nessa?

Passo 2

VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA...

Cara, como já comentamos, a velocidade do centro de massa permanecerá constante, já que não há forças externas empurrando as massas. Isso é o mesmo que dizer que o momento de inércia das massas se mantêm constantes, saca?

De acordo com a teoria, quando isso acontece, podemos calcular a velocidade do centro de massa pela fórmula...

v → c m = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 m 1 + m 2

Então, substituindo os dados do enunciado...

v → c m = 3 + 2,0   i → + 2 + 3,0   j → 2 + 3     →

v → c m = 6   i → + 6   j → 5     m / s

Passo 3

Agora, vamos encontrar R 0 (a posição inicial do centro de massa). É essa posição marcada com × aqui...

Para encontrar isso, basta lembrar que centro de massa pode ser obtido por...

R → 0 = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 m 1 + m 2     →

Então...

R → 0 = 3 - 4,0   i → - 4,0 j → + 2 + 4,0   i → - 4,0 j → 5     →

Simplificando...

R → 0 = - 12 , 0   i → - 12 , 0 j → + + 8 , 0   i → - 8 , 0 j → 5     →

R → 0 = - 4,0   i → - 20,0 j → 5    

Passo 4

Bem, para encontrar a posição do centro de massa então passados t = 2 s ...

R → = v → c m t + R → 0

Então...

R → = 6   i → + 6   j → 5 2 + - 4,0   i → - 20,0 j → 5     →

R → = 12   i → + 12   j → 5 + - 4,0   i → - 20,0 j → 5     →

R → = 8   i → -   8 j → 5   =

+ 1,6   i → - 1,6   j →

Resposta

Letra E.

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