Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Colisões

Dois corpos C 1 e C 2 se movem em um plano sem atrito. Suas posições variam no tempo e são dadas pelos vetores r 1 → t = 3 t   i ^ + 12   j ^ e r 2 → t = 9   i ^ + 4 t   j ^ , onde t é dado em segundos e a posição em metros. O corpo C 1 tem massa m 1 = 1,0   k g e o corpo C 2 tem massa m 2 = 3,0   k g . Num dado instante de tempo, os dois corpos se chocam em uma colisão perfeitamente inelástica. Após a colisão, o vetor velocidade do conjunto faz um ângulo α com a horizontal.

Calcule:

a) O vetor posição do centro de massa do sistema r c m quando t = 0 .

b) O vetor velocidade do centro de massa v c m dos corpos na iminência da colisão.

c) O ângulo α e o módulo da velocidade v f logo após a colisão.

d) A força que C 2 faz em C 1 durante a colisão que durou um décimo de segundo.

Passo 1

a)

Considerando os vetores posição das duas bolinhas temos:

r 1 → t = 3 t   i ^ + 12   j ^

Logo r 1 → ( 0 ) = 12 j ^

r 2 → t = 9   i ^ + 4 t   j ^

Logo r 2 → 0 = 9 i ^

O vetor r c m é:

r c m 0 = m 1 r 1 0 + m 2 r 2 0 m 1 + m 2 = 1   .   12   j ^ + ( 3   .   9 i ^ ) 4 = 6,75   i ^ + 3   j ^   ( m )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Derivando cada vetor posição r 1 → t e r 2 → ( t ) obtemos os vetores v 1 → t e v 2 → t .

v 1 → t = d d t r 1 → t = 3 i ^   m / s

v 2 → t = d d t r 2 → t = 4 j ^   m / s

Usando a definição de velocidade do centro de massa obtemos:

v c m = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 = 1   .   3 i ^ + 3   .   4   j ^ 1 + 3 = 0,75   i ^ + 3   j ^   m / s

Passo 3

c)

No sistema não há forças externas, portanto, podemos usar a conservação do momento linear para calcular o ângulo após a colisão. Esta colisão é completamente inelástica:

Momento linear no eixo x :

m 1 v 1 = m t v f cos ⁡ α                         ( 1 )

Momento linear no eixo y :

m 2 v 2 = m t v f sen ⁡ α                     ( 2 )

Fazendo 2 / 1 encontramos a tan ⁡ α :

tan ⁡ α = m 2 v 2 m 1 v 1 = 12 3 = 4

α = 76 °

Para calcular a velocidade final após a colisão usamos 1 ou 2 .

m 2 v 2 = m t v f sen ⁡ α

v f = 3   .   4 4 sen ⁡ 76 ° = 3,1   m / s

Passo 4

d)

O sistema é livre de forças externas, porém existem duas forças internas que podem ser calculadas, isto é:

F 12 → = Δ p 1 → Δ t

Calculando a variação do momento linear:

Δ p 1 → = m v f - v 1 = 1 . 3,1 cos ⁡ 76 °   i ^ + 3,1 sen ⁡ 76 °   j ^ - 3   i ^

Δ p 1 → = 1 . 0,75   i ^ + 3   j ^ - 3 i ^ = - 2,25   i ^ + 3   j ^   K g . m s  

Substituindo na fórmula da força:

F 12 → = - 2,25   i ^ + 3   j ^ 0,1

F 12 → = ( - 22,5   i ^ + 30   j ^ )   N

Resposta

a) r c m 0 = 6,75   i ^ + 3   j ^   ( m )

b) v c m = 0,75   i ^ + 3   j ^   m / s

c) α = 76 ° ; v f = 3,1   m / s

d) F 12 → = ( - 22,5   i ^ + 30   j ^ )   N

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