Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

( c ) Para k = 0 , quais são os autovalores e os autoespaços de T ?

Passo 1

Primeiro vamos aplicar a condição do enunciado:

T x , y , z = ( 2 y ,   2 x + 2 z ,   2 y )

Agora vamos calcular os autovalores. Lembrando que podemos utilizar qualquer base para isso, para facilitar, vamos usar a canônica.

T 1,0 , 0 = 0 , 2 , 0

T 0,1 , 0 = 2 , 0 , 2

T 0,0 , 1 = ( 0 ,   2 ,   0 )

T ε = 0 2 0 2 0 2 0 2 0

Passo 2

Calcular os autovalores:

T ε - λ I = - λ 2 0 2 - λ 2 0 2 - λ

det ⁡ T ε - λ I = - λ 3 + 2 λ + 2 λ = 0 ⇒

λ - λ 2 + 4 = 0 ⇒

λ = 0   o u   λ = ± 2

Passo 3

Para calcular o autoespaço associado λ = 0 :

0 2 0 2 0 2 0 2 0 ⋅ x y z = 0 ⇒

2 y = 0 ⇒ y = 0 2 x + 2 z = 0 ⇒ x = - z 2 y = 0

x , y , z = - z , 0 , z = z ( - 1,0 , 1 )

V λ = 0 = s p a n { - 1,0 , 1 }

Para calcular o autoespaço associado λ = 2 :

- 2 2 0 2 - 2 2 0 2 - 2 ⋅ x y z = 0 ⇒

- 2 x + 2 y = 0 ⇒ - 2 x + 2 z = 0 ⇒ 2 x = 2 z ⇒ x = z 2 x - 2 y + 2 z = 0 ⇒ 2 z - 2 y + 2 z = 0 ⇒ 2 y = 2 2 z ⇒ y = 2 z 2 y - 2 z = 0 ⇒ 2 y = 2 z

x , y , z = z , 2 z , z = z ( 1 , 2 , 1 )

V λ = 2 = s p a n { 1 , 2 , 1 }

Passo 4

Para calcular o autoespaço associado λ = - 2 :

2 2 0 2 2 2 0 2 2 ⋅ x y z = 0 ⇒

2 x + 2 y = 0 ⇒ 2 x - 2 z = 0 ⇒ 2 x = - 2 z ⇒ x = z 2 x + 2 y + 2 z = 0 ⇒ 2 z + 2 y + 2 z = 0 ⇒ 2 y = - 2 2 z ⇒ y = - 2 z 2 y + 2 z = 0 ⇒ 2 y = - 2 z

x , y , z = z , - 2 z , z = z ( 1 , - 2 , 1 )

V λ = - 2 = s p a n { 1 , - 2 , 1 }

Resposta

V λ = 0 = s p a n { - 1,0 , 1 }

V λ = 2 = s p a n { 1 , 2 , 1 }

V λ = - 2 = s p a n { 1 , - 2 , 1 }

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )