Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Sejam S , T : R 2 → R 2 as transformações lineares associadas, respectivamente, às matrizes:

A = 2 2 0 1

B = 2 1 0 2

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. Existe uma base de autovetores para S .
  2. Existe uma base de autovetores para T .

a A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

b Ambas são falsas.

c Ambas são verdadeiras.

d A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

Passo 1

Reparem que ambas as matrizes são triangulares! Isso quer dizer que os autovalores são os elementos da diagonal ;)

Então a matriz A possui dois autovalores distintos! Isso quer dizer que eles necessariamente estão associados à 2 autoespaços, o que já nos garante que existe uma base de autovetores (como estamos no R 2 precisamos que a dimensão dos autoespaços some 2 ).

Passo 2

A matriz B por outro lado só possui o autovalor 2 . Bom mas pode estar associado à um autoespaço de dimensão 2 e também formar uma base certo? Vamos encontrar os autovetores associados a λ = 2 :

2 - 2 1 0 2 - 2 0 0 = 0 1 0 0 0 0 ⇒ y = 0

Bom, então todos os vetores com y = 0 são autovetores associados ao autovalor 2 . Po, mas isso é uma reta, então não existe uma base de autovetores para T , essa é falsa.

Resposta

Letra ( a )

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