Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere a transformação linear, T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é:

T ε = - 2 - 1 4 - 2 0 2 - 1 - 1 3

  1. Determine os autovalores de T .
  2. Determine, se possível, uma base de autovetores de T .
  3. Considere a matriz N = T ε 5 . Determine o traço de N .
  4. Determine se existe uma base γ de R 3 tal que a matriz T na base γ seja:
  5. T γ = 2 0 0 0 0 0 0 0 - 1

    Se existe a base γ , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

  6. Determine se existe uma base η de R 3 tal que a matriz de T na base η seja:

T γ = - 2 0 0 0 1 0 0 0 2

Se existe a base η , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

Passo 1

Belezera galerinha bonita, pra gente encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos montar o polinômio característico dela, que é dado por:

det ⁡ T ε - λ I = 0

Onde λ I é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Logo:

det ⁡ - 2 - 1 4 - 2 0 2 - 1 - 1 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 0

det ⁡ - 2 - λ - 1 4 - 2 0 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ = 0

Passo 2

Então aplicando a regra de Sarrus pra encontrar esse determinante, temos que:

det ⁡ - 2 - λ - 1 4 - 2 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ = - 2 - λ - λ 3 - λ + 2 + 8 - 4 λ + 2 λ + 2 + 2 3 - λ

det ⁡ - 2 - λ - 1 4 - 2 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ = - λ 3 + λ 2 + 2 λ

E como isso tem que ser igual a 0 , temos:

- λ 3 + λ 2 + 2 λ = 0

- λ λ 2 - λ - 2 = 0

E colocando essa equação do segundo grau, como um produto notável, obtemos:

- λ λ + 1 λ - 2 = 0

Portanto, nossos autovalores são as raízes dessa solução:

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 0 ,     λ 3 = - 1

Passo 3

Iradoso, agora que a gente já tem os autovalores da matriz, podemos encontrar a base de autovetores respectivos. Saca só, para encontrar um autovetor  v → associado à um autovalor λ , fazemos:

N T ε - λ I = v →

Belezoca, então por exemplo para o autovalor λ 1 = 2 , temos que encontrar o núcleo de:

N - 2 - λ - 1 4 - 2 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ

N - 2 - 2 - 1 4 - 2 - 2 2 - 1 - 1 3 - 2

N - 4 - 1 4 - 2 - 2 2 - 1 - 1 1

E escalonando essa matriz, obtemos que:

- 4 - 1 4 - 2 - 2 2 - 1 - 1 1 ⇒     L 3 = L 3 - 1 2 L 2 = - 4 - 1 4 - 2 - 2 2 0 0 0

- 4 - 1 4 - 2 - 2 2 - 1 - 1 1 ⇒ L 1 = L 1 - 2 L 2     = 0 3 0 - 2 - 2 2 0 0 0

Então da primeira linha, tiramos que:

0 x + 3 y + 0 z = 0

y = 0

E na segunda linha, temos:

- 2 x - 2 y + 2 z = 0

- 2 x - 2 0 + 2 z = 0

x = z

Logo o autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2 é:

v → 1 = x ,   y ,   z = x ,   0 ,   x

v → 1 = x 1 ,   0 ,   1

v → 1 = 1 ,   0 ,   1

Passo 4

Belezoca, agora para o autovalor λ 2 = 0 , fazemos a mesma coisa:

N - 2 - λ - 1 4 - 2 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ

N - 2 - 0 - 1 4 - 2 - 0 2 - 1 - 1 3 - 0

N - 2 - 1 4 - 2 0 2 - 1 - 1 3

E escalonando essa matriz, obtemos que:

- 2 - 1 4 - 2 0 2 - 1 - 1 3 ⇒     L 3 = 2 L 3 - L 2 = - 2 - 1 4 - 2 0 2 0 - 2 4

- 2 - 1 4 - 2 0 2 0 - 2 4 ⇒     L 2 = L 2 - L 1   = - 2 - 1 4 0 1 - 2 0 - 2 4

- 2 - 1 4 0 1 - 2 0 - 2 4 ⇒     L 3 = L 3 + 2 L 2 = - 2 - 1 4 0 1 - 2 0 0 0

Então da segunda linha, tiramos que:

0 x + y - 2 z = 0

y = 2 z

E na primeira linha, temos:

- 2 x - y + 4 z = 0

- 2 x - 2 z + 4 z = 0

x = z

Logo o autovetor associado ao autovalor λ 2 = 0 é:

v → 2 = x ,   y ,   z = z ,   2 z ,   z

v → 2 = z 1 ,   2 ,   1

v → 2 = 1 ,   2 ,   1

Passo 5

E por fim, para o último autovetor, vamos ter o autovalor λ 3 = - 1 , logo repetindo o processo dos outros autovetores, temos:

N - 2 - λ - 1 4 - 2 - λ 2 - 1 - 1 3 - λ

N - 2 - - 1 - 1 4 - 2 - - 1 2 - 1 - 1 3 - - 1

N - 1 - 1 4 - 2 1 2 - 1 - 1 4

E escalonando essa matriz, obtemos que:

- 1 - 1 4 - 2 1 2 - 1 - 1 4 ⇒     L 3 = L 3 - L 1 = - 1 - 1 4 - 2 1 2 0 0 0

- 1 - 1 4 - 2 1 2 0 0 0 ⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   = - 1 - 1 4 0 3 - 6 0 0 0

Então da segunda linha, tiramos que:

0 x + 3 y - 6 z = 0

y = 2 z

E na primeira linha, temos:

- x - y + 4 z = 0

- x - 2 z + 4 z = 0

x = 2 z

Logo o autovetor associado ao autovalor λ 3 = - 1 é:

v → 3 = x ,   y ,   z = 2 z ,   2 z ,   z

v → 3 = z 2 ,   2 ,   1

v → 3 = 2 ,   2 ,   1

Portanto, uma base de autovetores de T é dada por:

1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1

Passo 6

Belezoca meus amores, o traço de uma matriz é dado pela soma da diagonal principal, por exemplo em:

T ε = - 2 - 1 4 - 2 0 2 - 1 - 1 3

O traço é:

t r T = - 2 + 0 + 3

t r T = 1

Só que a malandragem aqui, é que esse traço, também pode ser medido pela soma dos autovalores, por exemplo na nossa matriz, vamos ter:

t r T = λ 1 + λ 2 + λ 3

t r T = 2 + 0 - 1

t r T = 1

Então se a gente quer o traço da matriz T ε 5 , não precisamos descobrir a matriz na potência 5 , basta a gente somar os autovalores na quinta potência, desse jeito olha:

t r T 5 = λ 1 5 + λ 2 5 + λ 3 5

t r T 5 = 2 5 + 0 5 + - 1 5

t r T 5 = 32 + 0 - 1

t r T 5 = 31

Passo 7

Show de bola, agora na letra (d), a matriz que a gente quer encontrar na base é:

T γ = 2 0 0 0 0 0 0 0 - 1

Que por pura coincidência do universo, é exatamente igual a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:

T γ = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 = 2 0 0 0 0 0 0 0 - 1

E quando isso acontece, a gente pode decompor nossa matriz como:

T γ = P D P - 1

Onde D é a matriz diagonal, enquanto P é a matriz que possui os autovetores nas colunas. E isso é uma mudança de base, de γ para a canônica ε . Isso quer dizer que a base γ que satisfaz nossa mudança de base, é a própria base de autovetores de T :

γ = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1

Passo 8

Agora na letra (e), temos que a matriz é:

T γ = - 2 0 0 0 1 0 0 0 2

Que é a matriz diagonal com os valores 2 ,   1   e - 2 na diagonal principal. Mas gente viu que quando isso acontece, pra escrevermos nossa matriz em outra base, precisaríamos ter autovetores associados a 2 ,   1   e - 2 , ou seja, esses valores precisariam ser autovalores, só que isso impossível, já que nossos autovalores são:

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 0 ,     λ 3 = - 1

Logo, não existe a base η .

Resposta

  1. λ 1 = 2 ,     λ 2 = 0 ,     λ 3 = - 1
  2. 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1
  3. 31
  4. γ = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1
  5. Não existe.

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