Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma matriz simétrica com autovetores v → 1 = 1 ,   2 ,   3 ,   v → 2 = 3 ,   0 ,   - 1 e v → 3 = 1 ,   - 5 ,   3 , associados respectivamente aos autovalores 1 ,   2 e 3 . Seja v → = a v → 1 + b v → 3 , com a e b ambos não nulos e positivos; e seja x ,   y ,   z = A 10 v → . Assinale a alternativa verdadeira:

  1. x é negativo e é, aproximadamente, o triplo de y
  2. x é negativo e é, aproximadamente, o triplo de z
  3. y é positivo e é, aproximadamente, o triplo de x
  4. z é positivo e é, aproximadamente, o triplo de x

Passo 1

Show de bolinhas galera, o enunciado forneceu pra gente os autovalores e os autovetores da matriz A , e quer saber o resultado de:

x ,   y ,   z = A 10 v →

Onde v → é formado pela combinação linear entre dois autovetores de A , v → 1 e v → 2 :

v → = a v → 1 + b v → 3

Mas saca só, uma matriz, seu autovetor e seu autovalor se relacionam de acordo com a equação:

A v i → = λ i v i →

E o bizu matador aqui, é que quando isso acontece, podemos transferir a potência da matriz para o autovalor, desse jeito:

A n v i → = λ i n v i →

Passo 2

Irados, então passando para nosso caso, temos que:

A v → = A a v → 1 + b v → 3

Logo, elevando a nossa potência de 10 , temos que:

A 10 v → = A 10 a v → 1 + b v → 3

E distribuindo essa matriz, temos:

A 10 v → = A 10 a v → 1 + A 10 b v → 3

A 10 v → = a A 10 v → 1 + b A 10 v → 3

Só que v → 1 e v → 3 são autovetores associados aos autovalores 1 e 3 respectivamente. Então temos:

A 10 v → = a 1 10 v → 1 + b 3 10 v → 3

Logo, descobrimos que:

A 10 v → = a v → 1 + 3 10 b v → 3

Passo 3

Belejóia, então se a gente trocar os vetores, vamos ter que:

A 10 v → = a 1 ,   2 ,   3 + 3 10 b 1 ,   - 5 ,   3

A 10 v → = a + 3 10 b ,   2 a + - 5 3 10 b ,   3 a + 3 3 10 b = x ,   y ,   z

x = a + 3 10 b

y = 2 a - 5 . 3 10 . b

z = 3 a + 3 10 b

E como o enunciado garantiu pra gente que a e b são ambos não nulos e positivos, temos que z   é positivo e é, aproximadamente, o triplo de x :

z = 3 a + 3 10 b ⏝ x

z = 3 x

Letra (d).

Resposta

Letra (d).

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )