Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere R 3 com o produto interno usual. Sejam a , b   ∈ R , e considere o operador linear T : R 3 → R 3 definido por

T x , y , z = 3 x + 2 a + 6 y , - a x + 3 y + b z , 2 b y + 4 z ,

Para todo x , y , z ∈ R 3 . Se T é simétrico, então o produto dos autovalores de T é igual a

a   20

b   10

c - 30

d   8

e   0

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, a motivação dessa questão é acharmos primeiro quem são esses valores a e b, para depois acharmos os autovalores. Podemos usar a ideia de que se T é simétrico então a matriz de T é igual a sua transposta.

Como T sai do R 3 vamos tomar a base canônica B = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 } , usaremos que a matriz que representa T tem suas colunas sendo a imagem dessa base por T. Ou seja, a primeira coluna será T 1,0 , 0 ,   a   s e g u n d a   T 0,1 , 0   e   a   t e r c e i r a   T ( 0,0 , 1 )

Bora achar cada um desses valores.

T 1,0 , 0 = 3 , - a , 0

T 0,1 , 0 = 2 a + 6 ,   3,2 b

T 0,0 , 1 = ( 0 , b , 4 )

Bora tomar a matriz A =   3 2 a + 6 0 - a 3 b 0 2 b 4 agora vamos usar que T é simétrico, então A = A t

A =   3 2 a + 6 0 - a 3 b 0 2 b 4 = 3 - a 0 - a 3 b 0 b 4

Ou seja:

2 a + 6 = - a 2 b = b                      

Logo a =   - 2   e   b = 0

Passo 2

Agora vamos lembrar que para achar os autovalores, precisamos calcular as raízes do polinômio dado por d e t ⁡ ( A - λ I )

Usando que A =   3 2 0 2 3 0 0 0 4 , e portanto, A - λ I = 3 - λ 2 0 2 3 - λ 0 0 0 4 - λ ,  

Passo 3

Agora basta calcular o determinante dessa matriz e achar as raízes:

det ⁡ 3 - λ 2 0 2 3 - λ 0 0 0 4 - λ = ( 4 - λ ) 3 - λ 2 2 3 - λ

4 - λ [ 3 - λ 2 - 4 ) ] = ( 4 - λ ) ( λ 2 + 5 - 6 λ )

p λ = ( 4 - λ ) ( λ 2 + 5 - 6 λ )

Vamos tomar p λ = 0   e teremos achado os autovalores.

Fazendo isso, temos que λ = 4 ,     λ = 5   e   λ = 1 são raízes.

Logo o produto dos 3 autovalores é 20

Resposta

Letra A

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