Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Sejam F o espaço vetorial das funções e D : F → F o operador derivada. Seja T = D - I , onde I é a transformação identidade. Assinale uma função que é autovetor de T :

a sin ⁡ x

b ln ⁡ x

c   e x

d   x - 1

Passo 1

Temos que:

T f x = D - I f x = D f x - I f x = D f x - f x

Ou seja, o que nossa T faz é subtrair a derivada de uma função dela mesma!

Vamos testar as letras então pra ver qual é um autovetor:

a T sin ⁡ x = D sin ⁡ x - sin ⁡ x = cos ⁡ x - sin ⁡ x ≠ λ sin ⁡ x

b T ln ⁡ x = D ln ⁡ x - ln ⁡ x = 1 x - ln ⁡ x ≠ λ ln ⁡ x

c T e x = D e x - e x = e x - e x = 0

Opa, taí nossa resposta! e x é autovetor associado ao autovalor 0 !

Resposta

Letra ( c )

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