Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja A   ∈   M 4 ( R ) uma matriz real e suponha que   i   e   1   -   2 i   sejam raízes do polinômio característico de     A . Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:

(a) - i é um autovalor de     A ;

(b)     A possui um autovalor complexo com multiplicidade geométrica igual a 2 ;

(c)     A não possui autovalores reais;

(d)     A é diagonalizável sobre C ;

(e)     A não é diagonalizável sobre R .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Começando pela primeira. Se A   ∈   M 4 ( R ) , então o polinômio característico de A tem grau 4 , ou seja tem 4 raízes. Mas como o enunciado diz que i   e   1   -   2 i são raízes desse polinômio (são autovalores) temos que - i   e   1   +   2 i também são raízes, pois as raízes complexas sempre vem em pares com seus conjugados complexos. Logo a afirmação é verdadeira

Passo 2

A segunda afirmação diz que     A possui um autovalor complexo com multiplicidade geométrica igual a 2 ;

Como vimos no passo anterior que A tem quatro autovalores complexos distintos logo a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1 , e não 2 . Por isso essa afirmação é falsa.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

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