Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Questão Extra.

Seja A uma matriz n × n com dim ⁡ N ú c l e o A = n - 1   e seja v → ≠ 0 um vetor de R n . Considere as afirmativas:

  1. Se v → ∈ I m a g e m A , então   v → é autovetor de A .
  2. Se v → ∈ N ú c l e o A , então   v → é autovetor de A .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é falsa.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belejóia galeris, a questão extra geralmente costuma ser um pouquinho mais difícil que as outras, mas nada que assuste a gente, cola aqui comigo que vamos mostrar pra ela com quantos vetores se faz um espaço vetorial.

Saca só, o enunciado afirma que dada uma matriz A ( n × n ) , vamos ter que a dimensão do núcleo dessa matriz é:

dim ⁡ N ú c l e o A = n - 1

E queremos saber se, v → ∈ I m a g e m ( A ) ou se v → ∈ N ú c l e o A , fará com que   v → seja um autovetor de A . Tá né, mas que que é um autovetor. Bom, um autovetor é qualquer vetor u → tal que:

A u → = λ u →

Onde λ   é uma constante qualquer pertencente aos reais, ou seja, sempre que podemos trocar toda a operação que a matriz A faz, por uma constante qualquer λ ∈ R , então esse vetor u → é um autovetor.

Passo 2

Show de bolinhas então, vamos olhar pra primeira afirmativa, ela diz que se v → ∈ I m a g e m A , então   v → é autovetor de A , mas a gente só conhece a dimensão do núcleo dim ⁡ N ú c l e o A = n - 1 . Então pra descobrir a dimensão da I m a g e m ( A ) bora usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz o seguinte, dada uma matriz A ( m × n ) , temos:

dim ⁡ N ú c l e o A + dim ⁡ I m a g e m A = n

E como nossa matriz da questão é A ( n × n ) , e já conhecemos o valor da dimensão do núcleo, podemos substituir por:

n - 1 + dim ⁡ I m a g e m A = n

Resolvendo então:

dim ⁡ I m a g e m A = n - n - 1

dim ⁡ I m a g e m A = 1

Isso quer dizer que se a dimensão da Imagem é igual a 1 , o espaço vetorial que ela se refere é uma reta. Então se eu digo que v → ∈ I m a g e m A , quer dizer que v → pertence a uma reta. Portanto quando fazemos a multiplicação A v → , estamos pegando um vetor que pertence a I m a g e m ( A ) e levando ele de volta na mesma I m a g e m A , ou seja, levando de uma reta para a mesma reta. E essa operação de levar de uma reta para a mesma reta pode ser facilmente substituída por uma constante λ da forma:

A v → = λ v →  

Portanto, para esse caso especifico, se v → ∈ I m a g e m A , então   v → é autovetor de A , e nossa afirmativa (I) é verdadeira.

Passo 3

Agora nossa segunda afirmativa diz que se v → ∈ N ú c l e o A , então   v → é autovetor de A .

Mas calma lá meu patrão, porque sempre que estamos falando do núcleo de uma matriz, estamos falando do o. Esse sistema homogêneo pode ser escrito como:

A u → = 0 →

Ou seja, o conjunto solução do sistema homogêneo será o conjunto gerado pelos vetores u → . Então quando a afirmativa (II) diz que v → ∈ N ú c l e o A , ele quer dizer que:

A v → = 0 →  

Maaaasss, é ai que tá a malandragem, porque o enunciado garante pra gente que v → ≠ 0 , dessa forma temos que:

A v → = 0 v →

Onde teremos λ = 0 , e dessa forma se v → ∈ N ú c l e o A , então   v → de fato é um autovetor de A . E nossa afirmativa (II) também é verdadeira.

Resposta

Letra d.

  1. Verdadeira.
  2. Verdadeira.

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