Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere as bases:

β   =   1,1 , 1 , - 1 e C   =   3,2 , 2,1

de R 2 , e seja T : R 2 → R 2 o operador linear tal que:

T B C = 5 9 - 7 - 13

Se μ   e   λ denotam os autovalores de T   , então μ   +   λ é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é muito bacana, pois iremos usar vários assuntos para resolvê-la. Vem comigo!

Para resolvermos essa questão precisamos calcular os autovalores da nossa transformação linear T , mas não sabemos que é T   . O enunciado só nos diz quem é T β C . Vamos usar a relação entre matriz e transformação linear para obtermos T β !!!

Passo 2

No passo anterior, falei que vamos usar a relação entre matriz e transformação linear. Mas que relação é essa mesmo? Vamos relembrar!!!!

T β   =   I C β ⋅ T β C

Dessa forma, precisamos obter a matriz que representa a transformação linear T β . Pelo teorema ela é:

T β   =   I C β ⋅ T β C

Ou seja, estamos transformando os vetores de C para a base β   e depois aplicando a transformação linear T β C que leva da base β   para C .Lembraram do teorema?

Passo 3

Bem, como vimos nos passos anteriores, precisamos calcular os autovalores da matriz que representa o operador linear T   . E para isso, precisamos obter T β que é dada por

T β   =   I C β ⋅ T β C

Mas quem seria I C β ? Lembram da definição dessa matriz? Vamos revisar!!

A matriz I C β é a matriz onde suas colunas são os vetores da base β representados na base C   .Vamos construir essa matriz.

A primeira coluna de I C β será 1,1 C e a segunda coluna será 1 , - 1 C . Então:

1,1 C   =   a , b     |     a 3,2   +   b 2,1   =   1,1

Resolvendo o sistema obtemos que:

1,1 C   =   5 2 , 3 2  

Calculando 1 , - 1 C

1 , - 1 C   =   a , b     |       a 3,2   +   b 2,1   =   1 , - 1

Resolvendo o sistema obtemos que:

1 , - 1 C   =   1 2 , 1 2  

Agora vamos usar esse resultado para obter T β Conseguiram acompanhar até aqui? Então vamos em frente!!!!

Passo 4

Fizemos bastante conta até agora, mas já estamos terminando a questão 😊. Usando o resultado dos passos anteriores descobrimos que

T β   =   I C β ⋅ T β C

Em forma matricial

5 2 3 2 1 2 1 / 2 5 9 - 7 - 13 = 2 3 - 1 - 2

Ufa. Agora vamos calcular os autovalores de T β . Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Que é obtido calculando d e t d e t   T β   - λ I   . Então:

p λ   =   2 - λ ⋅ - 2   -   λ   - 3

=   λ 2   -   1

E tem como raízes ±   1  

Logo a soma dos autovalores será 0   , hehe!

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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