Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja V o espaço formado pelas combinações lineares das funções e 2 x , e 3 x . Considere a transformação linear T que a cada função em V associa a derivada dessa função. Então:

a   T tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores

b T tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores

c   T tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores

d   T tem autovalores complexos

Passo 1

Bom, vamos começar vendo como T se comporta. Vamos aplicar ele na base canônica de V :

T e 2 x = 2 e 2 x

T e 3 x = 3 e 3 x

Opa, percebeu o que aconteceu? Já matamos a questão aqui! Acabamos de ver que T tem o autovalor 2 associado ao polinômio e 2 x e o autovalor 3 associado ao polinômio e 3 x . A única opção que fala que T tem dois autovalores distintos é a a , então fim de papo.

Resposta

Letra a  

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Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )