Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, e seja T : V → V um operador linear diagonalizável cujos autovalores, listados sem repetição, são λ 1 ,   … ,   λ r . Para cada i = 1 , … ,   r , seja V λ i = K e r ( T - λ i I V ) , em que I V denota o operador identidade de V . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se para todos i e j distintos e todos u ∈ V ( λ i ) e v ∈ V ( λ j ) valer u 2 + v 2 = u + v 2 , então T é simétrico.
  2. A união de bases ortonormais dos subespaços V λ i ,   para i = 1 , … ,   r , é uma base ortonormal de V .
  3. Se a matriz de T , em relação a alguma base de V , for simétrica, então T é um operador simétrico.

Então,

Escolha uma opção:

  1. Apenas 1 e 2 são verdadeiras
  2. Apenas 1 é verdadeira
  3. Apenas 2 é verdadeira
  4. 1, 2 e 3 são verdadeiras
  5. 1, 2 e 3 são falsas
  6. Apenas 3 é verdadeira
  7. Apenas 1 e 3 são verdadeiras
  8. Apenas 2 e 3 são verdadeiras

Passo 1

Faaaaala, pessoal! Sabendo que V ( λ i ) são, por definição, os espaços gerados pelos autovetores de T , uma vez que se 0 ≠ v ∈ K e r ( T - λ i I V ) , temos:

T - λ i I V v = 0 ⇒ T v - λ i I V v = 0 ⇒ T v = λ i v

Além disso, sendo T diagonalizável, temos que existe uma base de V formada por autovetores as quais formam as colunas de P , com D sendo a matriz diagonal que contém os autovalores, tal que:

T = P D P - 1

Vamos uma afirmativa de cada vez:

  1. VERDADEIRA: Toda vez que falarmos de operador diagonalizável simétrico, estamos falando de matriz de autovetores ortogonal: P - 1 = P t . O que só é possível se houver um conjunto ortonormal de autovetores. Os conjuntos de autovetores V λ i = K e r T - λ i I V ⊂ V são são subespaços finitos gerados pelos autovetores, logo cada um deles tem uma base { v 1 i , … ,     v j i } a qual pode ser ortonormalizada pelo Processo de Gram-Schimdt de forma que todos tenham bases ortonormais.

Pela hipótese, ∀ i ≠ j , temos:

v k i 2 + v l j 2 = v k i + v l j 2 = v k i + v l j ⋅ ( v k i + v l j )

⇒ v k i 2 + v l j 2 = v k i 2 + 2 v k i ⋅ v l j + v l j 2

⇒ 2 v k i ⋅ v l j = 0

⇒ v k i ⋅ v l j = 0

Assim, unindo as bases ortonormais de V λ i , teremos autovetores normais e ortogonais entre si (e portanto L.I.). Como sabemos que a soma direta desses espaços:

V = V λ 1 ⊕ … ⊕ V ( λ r )

Temos que a união das bases de V ( λ i ) gera todos os elementos de V , como também é L.I., esta união é uma base. Assim, existe base ortonormal de autovetores de T , tal que T é simétrico.

Passo 2

  1. FALSA: Repare que para i ≠ j , e v i , v j pertencendo às base ortonormais de V ( λ i ) e V ( λ j ) , respectivamente, não necessariamente temos:
  2. v i ⋅ v j = 0

    Logo, a união das bases não é necessariamente ortogonal.

  3. FALSA: Em relação a uma base B de V, com a matriz de mudança de base P B , temos:

T B = P B T P B - 1

Se tivermos T B simétrico, então:

T B = T B t

P B T P B - 1 = P B - 1 t   T t P B t

Repare que para T = T t , temos que ter: P B - 1 = P B t , ou seja, P B de colunas dadas pelos elementos de B é ortogonal, com suas colunas formando um conjunto ortonormal. De forma que tem de ser uma base específica B de V , contrariando a hipótese.

Resposta

b. 1 é verdadeira

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