Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Mostre que dois autovetores associados a autovalores diferentes são linearmente independentes.

Dica: suponha que não sejam linearmente independentes e tente chegar a alguma contradição.

Passo 1

Vamos usar a dica! Vamos supor então que u 1 ,   u 2 autovetores de T , tal que:

T u 1 = λ 1 u 1

T u 2 = λ 2 u 2

Sendo λ 1 ≠ λ 2 . Se { u 1 ,   u 2 } é L D , então u 1 = a u 2 ,   a ∈ R .

Aplicando T dos dois lados em u 1 = a u 2 :

T u 1 = T a u 2 ⇒

λ 1 u 1 = λ 2 a u 2

Passo 2

Mas sabemos que então a u 2 = u 1 .

λ 1 u 1 = λ 2 u 1 ⇔ λ 1 = λ 2

Mas como λ 1 ≠ λ 2 por hipótese, chegamos numa contradição! Assim, sabemos que { u 1 ,   u 2 } não pode ser L D , então só pode ser L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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