Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que multiplica os vetores - 1,1 e 1,2 por 3 . Seja A a matriz de T em uma base qualquer. Calcule a soma dos elementos da diagonal de A .

a   6

( b ) 7

( c ) 3

( d ) 1 3

Passo 1

Sabemos que, não importa a base em que A esteja, seus autovalores sempre serão os mesmos! O que muda de uma base para a outra são os autovetores mas isso não nos interessa nesse exercício ;)

Nós só precisamos dos autovalores porque o exercício pede a soma dos elementos da diagonal de A , que é exatamente a soma dos autovalores, já que:

t r A = λ 1 + λ 2

Além disso, como estamos falando de uma transformação no R 2 , sabemos que seu polinômio característico terá duas raízes, ou seja, dois autovalores. E esses autovalores são dados pra gente!

Repare que temos um plano (formado pelos vetores - 1,1 e 1,2 ) associado ao autovalor 3 ! Logo, o autovalor 3 tem multiplicidade geométrica 2 ! E como nosso polinômio característico só pode ter duas raízes ele tem que ter multiplicidade algébrica 2 também. Logo:

λ 1 = λ 2 = 3

t r A = 3 + 3 = 6

Resposta

Letra ( a )

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