Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

c)Determine os autovalores de T

d) Determine os autoespaços de T

Passo 1

Beleza, no item a). nós já descobrimos que a matriz T é dada por:

T = 1 2 0 2 4 0 0 0 1

Agora só falta a gente achar os autovetores dessa bagaça... Let’s go!

Se você não lembra a formulinha, é essa aqui ô: T - λ I = 0

Substituindo os valores,

T - λ I = 1 - λ 2 0 2 4 - λ 0 0 0 1 - λ = 0

Calculando esse determinante, achamos:

1 - λ 4 - λ 1 - λ - 2 2 - 2 λ = ( 1 - λ ) ( λ ) ( 5 - λ )

Logo, λ 1 = 0 ,   λ 2 = 1   e   λ 3 = 5 .

Passo 2

Partiu calcular os autoespaços agora!

A formulinha é T - λ I v = 0

Para λ 1 = 0 , temos:

1 2 0 2 4 0 0 0 1 x y z = 0 0 0

x + 2 y = 0 - 2 x + 4 y = 0 z = 0 ⇒ x = - 2 y z = 0

Com isso, dizemos que x , y   , z = ( - 2 y , y , 0   )

Ou seja, o autoespaço de λ 1 é gerado por ( - 2 , 1,0 ) .

Para λ 2 = 1

0 2 0 2 3 0 0 1 0 x y z = 0 0 0

2 y = 0 2 x + 3 y = 0 y = 0 ⇒ x = y = 0

z é uma variável livre, então teremos que o autoespaço de λ 2 é gerado por (0,0,1)

Para λ 3 = 5

- 4 2 0 2 - 1 0 0 0 - 4 x y z = 0 0 0

- 4 x + 2 y = 0 2 x - y = 0     - 4 z = 0 ⇒ x = x y = 2 x z = 0

x é uma variável livre, então teremos que o autoespaço de λ 3 é gerado por (1,2,0)

Resposta

c)   λ 1 = 0 ,   λ 2 = 1   e   λ 3 = 5 .

d)   v 1 =   - 2,1 , 0 ,     v 2 = 0,0 , 1   e   v 3 = ( 1,2 , 0 )  

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