Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Livro Álgebra Linear, Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, página 315 exercício 2, a), e)

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:

  1. T : R 2 R 2 ,   T x , y = ( x + 2 y , - x + 4 y )
  2. T : R 3 R 3 ,   T x , y , z = x , - 2 x - y , 2 x + y + 2 z

Passo 1

Letra a)

Para calcular os autovalores precisamos de uma matriz, então vamos achar a matriz que representa T na base canônica:

T 1,0 = 1 , - 1

T 0,1 = 2,4

Como se trata de uma base canônica, não precisamos reescrever nas coordenadas dela:

T ε = 1 2 - 1 4

T ε - λ I = 1 - λ 2 - 1 4 - λ

det T ε - λ I = 1 - λ 4 - λ + 2

Fazendo:

1 - λ 4 - λ + 2 = 0

4 - λ - 4 λ + λ 2 + 2 = 0

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

λ = 2   e   λ = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando os autovetores.

Para λ = 2

T ε - λ I u ε = 0

- 1 2 - 1 2 x y = 0

- x + 2 y = 0 x = 2 y - x + 2 y = 0

2 y , y = y 2,1

V λ = 2 = s p a n { 2,1 }

Para λ = 3 :

T ε - λ I u ε = 0

- 2 2 - 1 1 x y = 0

- 2 x + 2 y = 0 - x + y = 0 x = y

y , y = y 1,1

V λ = 3 = s p a n { 1,1 }

Passo 3

Letra b)

É só repetir o que fizemos na letra a), só que para 3 coordeandas:

T 1,0 , 0 = 1 , - 2,2

T 0,1 , 0 = 0 , - 1,1

T 0,0 , 1 = 0,0 , 2

T ε = 1 0 0 - 2 - 1 0 2 1 2

T ε - λ I = 1 - λ 0 0 - 2 - 1 - λ 0 2 1 2 - λ

Como a matriz é triangular inferior, o seu determinante é o produto das diagonais:

det T ε - λ I = 1 - λ - 1 - λ 2 - λ

Assim, podemos ver que os autovalores são λ = 1 ,   λ = - 1 ,   λ = 2

Passo 4

Chegou a hora de calcular os autovetores!

Para λ = 1 :

T ε - λ I u ε = 0

0 0 0 - 2 - 2 0 2 1 1 x y z = 0

- 2 x - 2 y = 0 y = - x 2 x + y + z = 0 2 x - x + z = 0 z = - x

x , - x , - x = x 1 , - 1 , - 1

V λ = 1 = s p a n 1 , - 1 , - 1

Para λ = - 1 :

T ε - λ I u ε = 0

2 0 0 - 2 0 0 2 1 3 x y z = 0

2 x = 0 x = 0 - 2 x = 0 2 x + y + 3 z = 0 y + 3 z = 0 y = - 3 z

0 , - 3 z , z = z 0 , - 3,1

V λ = - 1 = s p a n 0 , - 3,1

Para λ = 2 :

T ε - λ I u ε = 0

- 1 0 0 - 2 - 3 0 2 1 0 x y z = 0

- x = 0 x = 0 - 2 x - 3 y = 0 y = 0 2 x + y = 0 0 + 0 = 0

0,0 , z = z 0,0 , 1

V λ = 2 = s p a n 0,0 , 1

Resposta

Letra a)

V λ = 2 = s p a n { 2,1 }

V λ = 3 = s p a n { 1,1 }

Letra b)

V λ = 1 = s p a n 1 , - 1 , - 1

V λ = - 1 = s p a n 0 , - 3,1

V λ = 2 = s p a n 0,0 , 1

Os autovetores, são os respectivos autoespaços, excluindo o vetor nulo.

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