Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

  1. Existe uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que 1 , - 1 é autovetor associado ao autovalor λ = 2 , T 1,2 = 2,3 e T 2,1 = 4 , - 1 .
  2. Existe uma transformação linear injetora T : M 2,2 → R 3 .
  3. Se α é uma base de R 2 , β é uma base de P 1 , T : R 2 → P 1 e S : P 1 → R 2 são tais que

T β α = 1 0 1 2                     S α β = 1 2 1 1

Então L = S ∘ T : R 2 → R 2 é invertível (Obs. L v = S T v ).

Passo 1

Para verificarmos se existe uma transformação linear T : R 2 → R 2 que satisfaça as condições dadas, vamos precisas utilizar duas propriedades de transformações lineares.

A primeira delas nos diz respeito a linearidade da operação. A transformação da soma é a soma das transformações, isto é:

T α + β = T α + T β

Já a outra está associada a autovetores e autovalores. Seja v um autovetor associado ao autovalor λ , sabemos que:

T v = λ v

Bom, agora que relembramos estas operações, vamos utiliza-las. Para isto, precisamos checar uma relação entre os vetores 1 , - 1 , 1,2 e 2,1 . Esta relação é:

2,1 = 1 , - 1 + 1,2

Ao aplicarmos o operador transformação linear, temos:

T 2,1 = T 1 , - 1 + 1,2

T 2,1 = T 1 , - 1 + T 1,2

Lembrando que o vetor 1 , - 1 é autovetor com autovalor associado 2, vamos agora utilizar os valores das transformações ditas no enunciado da questão. Portanto,

4 , - 1 = 2 ⋅ 1 , - 1 + 2,3

4 , - 1 = 2 , - 2 + 2,3

4 , - 1 = ( 4,1 )

Percebam que o resultado obtido é uma mentira. O vetor 4 , - 1 não é 4,1 . Portanto, o enunciado é falso!

Resposta

O enunciado é falso!

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