Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja T : V → V um operador linear cujo polinômio característico é p t = a - t b - t n - 2 , em que a e b são números reais distintos. Sejam v , w   ∈ V vetores não nulos tais que T v = a v   e   T w = b w . Detone o operador identidade de V por I. Qual das seguintes afirmações é FALSA?

a   O   v e t o r   v + w   é   u m   a u t o v e t o r   d e   T

b   O   c o n j u n t o   v , w   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e .

c   O s   ú n i c o s   a u t o v a l o r e s   d e   T   s ã o   a   e   b .

d   S e   K e r T - a I = v , e n t ã o   T   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

e   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o   e x i s t e   u ∈ V   t a l   q u e   T u = a u   e   u , v   é   l i n e a r m e n t e  

i n d e p e n d e n t e

Passo 1

Falaaa, blz??? Bora começar essa questão pela primeira afirmação:

a   O   v e t o r   v + w   é   u m   a u t o v e t o r   d e   T

Se v + w   é autovetor, então:

T v + w = λ v + w ,     p a r a   a l g u m   λ ∈ R

Mas pela linearidade de T, temos que:

T v + w = T v + T w = a v + b w = λ v + λ w

Mas teríamos, nesse caso:

v a - λ + w b - λ = 0

Mas é dito no enunciado que a   ≠ b , ou seja, v e w são autovetores associados a autovalores diferentes, e portanto, são linearmente independentes.

Mas se eles são L.I, temos que a - λ = 0   e   b - λ = 0   → a = b   ( i m p o s s i v e l )

Ou seja, a primeira afirmação é falsa.

Letra (b):

É exatamente o resultado que acabamos de usar, se temos autovetores associados a autovalores distintos, eles são L.I

Passo 2

Bora para letra (c)

Ela é verdadeira, basta olhar para as raízes do polinômio característico a - t b - t n - 2 , veja que as únicas raízes são a e b.

Agora bora para a letra (d):

Bom, nessa aqui vamos lembrar que para T ser diagonalizável temos que a multiplicidade algébrica de seus autovalores deve ser igual a multiplicidade geométrica.

d   S e   K e r T - a I = v , e n t ã o   T   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l

Veja que se K e r T - a I = v   → dim ⁡ K e r T - a I = dim ⁡ v = 1

Vamos relembrar que a multiplicidade geométrica é igual a dimensão do auto espaço gerado pelo autovalor, mas veja que V a = K e r ( T - a I ) , pois:

v ∈ K e r T - a I → T - a I v = 0   ∴ T v = a v

Ou seja, podemos afirmar que K e r T - a I = V ( a ) , onde V ( a ) é o auto espaço gerado pelo autovalor a.

Logo, a multiplicidade geométrica de a é 1 e a algébrica é 2 (quantidade de vezes que essa raíz aparece no polinômio), como elas são iguais T não é diagonalizável.

Passo 3

Bora para última afirmação:

e   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o   e x i s t e   u ∈ V   t a l   q u e   T u = a u   e   u , v   é   l i n e a r m e n t e  

i n d e p e n d e n t e

Bora usar o que usamos nessa última letra agora, pois se T é diagonalizável a multiplicidade algébrica é igual a geométrica, ou seja:

dim ⁡ K e r T - a I = 2

Ou seja, existem dois vetores linearmente independentes de K e r T - a I   que formam uma base desse espaço, então, podemos tomar u , v   b a s e   d e   K e r ( T - a I ) .

Além disso, temos que u e v são autovetores associados ao autovalor a. Basta ver que:

T - a I u = 0 ,     p o i s   u ∈ K e r ( T - a I )

Logo:

T u = a u

O mesmo vale para v.

Resposta

Letra A

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