Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

02) Considere R 2 munido do produto interno usual. Se T : R 2 → R 2 é o operador linear simétrico que tem 5 como autovalor e que satisfaz T 1,2 = ( 3,6 ) , então a soma dos elementos na segunda coluna de T c a n é:

A) 13 / 5

B) 27 / 5

C) 3 / 5

D) 11 / 5

E) - 8 / 5

Passo 1

Eaí gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um operador linear simétrico T do R 2 no R 2 , que possui λ 1 = 5 como autovalor. Além disso, é dito que:

T 1,2 = ( 3,6 )

Mas:

3,6 = 3 ( 1,2 )

⇒ T 1,2 = 3 ⋅ ( 1,2 )

Portanto, λ 2 = 3 também é autovalor de T .

O exercício nos pede para determinar a soma dos elementos da segunda coluna de T c a n , a matriz da transformação linear T .

Pra começar a resolução, vocês lembram de algo que associe os autovalores e autovetores de uma transformação T com a matriz da transformação?

É justamente a diagonalização de uma matriz! Pois, como aplicação da diagonalização podemos escrever que:

T c a n = P D P - 1

Onde P é a matriz que envolve os autovetores e D os autovalores.

Passo 2

Bom, antes de podermos usar a nossa fórmula e calcular T c a n , precisamos determinar os autovetores de T . Já sabemos que:

λ 2 = 3 , possui autovetor ( 1,2 ) .

λ 1 = 5 . Logo, como temos um operador linear simétrico, dado que os autovalores são diferentes os autovetores associados devem ser ortogonais. Como o produto interno usual é aplicado no R 2 e chamando de ( a , b ) o autovetor associado a λ 1 = 5 , temos:

< 1,2 , a , b >   = 0

⇒   a + 2 b = 0

∴ a = - 2 b

Logo, o autovetor vale:

a , b = - b ( 2 , - 1 )

Assim, encontramos na realidade o autoespaço gerado pelo autovetor ( 2 , - 1 ).

Passo 3

Agora temos que { 1,2 ,   2 , - 1 } representam uma base ortogonal do R 2 .

Para encontrar a base ortonormal do R 2 e daí escrever a nossa matriz P , basta dividir cada vetor pelo seu módulo. Assim, temos a seguinte base ortonormal:

B = 1 5 , 2 5 ,   2 5 ,   - 1 5      

Daí, para escrever a matriz P basta colocar esses termos nas colunas dessa matriz. Logo:

P = 1 5 2 5 2 5 - 1 5  

Logo:

P - 1 =   1 5 2 5 2 5 - 1 5  

Já a matriz dos autovalores é simplesmente:

D =   3 0 0 5

Pronto! Usando agora a nossa fórmula, temos:

T c a n =   1 5 2 5 2 5 - 1 5   ⋅ 3 0 0 5 ⋅ 1 5 2 5 2 5 - 1 5  

Logo:

T c a n = 1 5 23 - 4 - 4 17

Portanto, a soma dos elementos da segunda coluna vale:

S = 1 5 - 4 + 17 = 13 5

Prontinho! Matamos mais uma questão!

Já vamo aproveitar o embalo e ir pra próxima.

Resposta

Letra A: 13 / 5

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