Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Se N A - I = - 1 ,   1 T e N A + I = 1 ,   1 T , calcule a soma dos elementos de A :

  1. - 2
  2. 3
  3. - 3
  4. 0

Passo 1

Belezoca galerinha, o enunciado disse pra gente que N A - I = - 1 ,   1 T e N A + I = 1 ,   1 T

Mas calma lá, porque o bizu master aqui é que a gente pode lembrar do processo que usamos para encontrar um autovetor. Seja λ um autovetor da matriz A , temos que o autoespaço associado é dado por:

N A - λ I = v → 1 ,   v → 2 ,   … ,   v → n  

Onde v → 1 ,   v → 2 ,   … ,   v → n serão os autovetores associados ao autovalor λ .

A v → 1 = λ v → 1 ,     A v → 2 = λ v → 2 ,     … ,   A v → n = λ v → n

Passo 2

Belezoca, agora que a descobriu o segredo da Álgebra, podemos associar ao nosso exercício. Quando ele diz que N A - I = - 1 ,   1 T , na verdade ele tá falando que:

N A - 1 I = - 1 ,   1

Ou seja, o vetor - 1 ,   1 é um autovetor associado ao autovalor λ 1 = 1 .

E fazendo o mesmo raciocínio com N A + I = 1 ,   1 T , temos que:

N A - - 1 I = 1 ,   1

Portanto 1 ,   1 é o autovetor associado ao autovalor λ 2 = - 1 .

Passo 3

Mas agora que começa a brincadeira, porque pensa aqui comigo, a gente que encontrar a soma de todos os elementos da matriz, então seja:

A = a b c d

Queremos encontrar:

a + b + c + d

Ou seja, se por acaso a gente fizesse a multiplicação pelo vetor 1 ,   1 , teríamos:

A 1 1 = a b c d 1 1

a b c d 1 1 = a + b c + d

Isso quer dizer que se gente multiplicar a matriz A , pelo vetor 1 ,   1 , o resultado, vai ser a soma dos elementos de A , SÓ QUE a gente viu no Passo 2 que o vetor 1 ,   1 é um autovetor de A associado ao autovetor λ 2 = - 1 . Logo, temos que:

A 1 1 = λ 2 1 1

A 1 1 = - 1 1 1

A 1 1 = - 1 - 1

Portanto, temos que a multiplicação é:

A 1 1 = a + b c + d = - 1 - 1

a + b = - 1

c + d = - 1

Logo:

a + b + c + d = - 2

Resposta certa, letra (a)

Resposta

Letra (a).

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