Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Sejam A e B matrizes quadradas.

Considere as afirmativas:

  1. Se a dimensão do núcleo de B + 2 I é 0 então - 2 é autovalor de B .
  2. Se A é inversível então 0 é autovalor de A .
  1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Passo 1

Belezoca pessoal, na afirmativa (I) ele jura com todas as forças que se a dimensão do núcleo de B + 2 I é 0 , então - 2 é autovalor de B . Show, mas pra gente descobrir os autovalores λ de uma matriz qualquer C usamos a relação:

det ⁡ C - λ I = 0

Logo, os valores de λ que satisfazem a igualdade serão os autovalores de C . Só que o mais legal disso, é que toda matriz que possui o determinante igual a 0 , possui a dimensão do núcleo DIFERENTE de 0 , tal que:

dim ⁡ N u c C - λ I ≠ 0

Passo 2

Show de bola, mas na nossa afirmativa (I), ele diz que:

dim ⁡ N u c B + 2 I = 0

Ou melhor:

dim ⁡ N u c B - - 2 I = 0

E se a dimensão do núcleo é nula, o determina será diferente de 0 , isto é:

det ⁡ B - ( - 2 ) I ≠ 0

Portanto, - 2 NÃO PODE ser autovalor de B . Afirmativa (I) é falsa!

Passo 3

Já na segunda afirmativa ele diz que se A é invertível, então 0 é autovalor de A . Então saca só, para uma matriz quadrada ser invertível, precisamos garantir que o núcleo tenha dimensão nula:

dim ⁡ N u c A = 0

A dimensão do núcleo ser nula, implica que a solução do sistema homogêneo é única, isto é:

A x → = 0 →

Com x → = 0 ,   0 ,   … ,   0 . MAAAASSS é ai que tá malandragem, porque quando ele diz que amariz A possui o autovalor λ = 0 , quer dizer que:

A v → = λ v →

A v → = 0 v →

Onde v → é o autovetor associado ao autovalor 0 . Logo:

A v → = 0

E isso atrapalha tudo, porque agora o autovetor v → , pertence ao núcleo de A fazendo com que:

dim ⁡ N u c A ≠ 0

Fazendo com que nossa matriz A seja impossível de inverter. Logo a afirmativa (II) também é falsa!! Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b)

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