Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

09) Seja T : C 3 → C 3 um operador linear do espaço vetorial complexo C 3 tal que T c a n ∈ M 3 ( R ) .

Sabendo que T possui 3 autovalores distintos e que ( 1,1 , 0 ) é um autovetor de T , qual dos seguintes vetores de C 3 certamente não é um autovetor de T ?

A) 1,1 , 0 + i ( 1,1 , 1 )

B) 1,1 , 0 + 4 i ( 1,1 , 0 )

C) 3 i ( 1,1 , 0 )

D) 1,1 , 0 + 4 ( 1,1 , 0 )

E) 1,1 , 1 + i ( 2,2 , 2 )

Passo 1

Eaí gente, bora matar mais uma questão?

Nesse item, temos basicamente uma transformação linear T : C 3 → C 3 , e sobre T é dito que ela possui 3 autovalores distintos e que ( 1,1 , 0 ) é um autovetor de T .

Dentre os vetores nas várias alternativas, a questão pede para determinarmos qual deles com certeza não é um autovetor de T .

Po, mas como é que a gente faz isso?

Então, não tem muito pra onde correr, precisamos ir analisando alternativa por alternativa e testar usando os teoremas conhecidos se o vetor pode ser, ou não, um autovetor de T .

Passo 2

Começando pela letra A, temos o vetor:

v = 1,1 , 0 + i ( 1,1 , 1 )

Bora supor que ele seja um autovetor de T . Então:

T v = λ 2 1,1 , 0 + i λ 2 ( 1,1 , 1 )

Beleza, mas outra forma de escrever isso, pela linearidade das T L ' s , vale que:

T 1,1 , 0 + i 1,1 , 1 = T 1,1 , 0 + i T ( 1,1 , 1 )

Só que, pelo enunciado, o vetor ( 1,1 , 0 ) é um autovetor de T . Vamos chamar de λ 1 o autovalor associado. Assim:

T 1,1 , 0 =   λ 1 ( 1,1 , 0 )

Substituindo isso na nossa expressão, vamos ter que:

T 1,1 , 0 + i 1,1 , 1 = λ 1 1,1 , 0 + i T ( 1,1 , 1 )

Daí, como logicamente, T v = T ( 1,1 , 0 + i 1,1 , 1 ) , chegamos a:

λ 2 1,1 , 0 + i λ 2 1,1 , 1 =   λ 1 1,1 , 0 + i T ( 1,1 , 1 )

Legal! Esse resultado é muito bom. Porque, pelo enunciado a matriz associada à transformação T ∈ R , ou seja, T 1,1 , 1 ∈ R . Logo, para analisar a equação acima, igualamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Daí, igualando as partes reais, temos:

λ 2 1,1 , 0 =   λ 1 ( 1,1 , 0 )

A única forma dessa equação ser verdadeira é termos λ 2 =   λ 1 . Mas, pelo enunciado, a transformação T possui 3   autovalores diferentes, sacaram?

Então, essa equação é um absurdo matemático e a nossa suposição inicial é falha. Ou seja, v = 1,1 , 0 + i ( 1,1 , 1 ) não pode ser autovetor de T .

Excelente! O professor até foi bonzinho e já colocou a resposta na letra A pra gente não precisar perder tempo analisando as outras.

Mas, como nós do Responde Aí gostamos muito de vocês hahaha, vamos mostrar também porque as outras alternativas são válidas.

Passo 3

Bom, as letras B, C e D nos dão três vetores com algo bem interessante. Sabe o que é?

É que todos esses vetores são múltiplos do autovetor 1,1 , 0 . Olha só:

v B =   1,1 , 0 + 4 i 1,1 , 0 = 1 + 4 i ⋅ 1,1 , 0

v C =   3 i ( 1,1 , 0 )

v D = 1,1 , 0 + 4 1,1 , 0 = 1 + 4 ⋅ ( 1,1 , 0 )

Massa! Isso significa que todos eles também são autovetores de T . Lembra que, na realidade, o autovetor ( 1,1 , 0 ) gera um autoespaço de autovetores. Ou seja, todos os vetores que são combinação linear (nesse caso, simplesmente múltiplos) de ( 1,1 , 0 ) também serão autovetores.

Já na letra E, temos:

v E = 1,1 , 1 + i ( 2,2 , 2 )

Po, esse vetor meio que caiu de paraquedas aí hahaha. Simplesmente não dá pra dizer se ele é autovetor ou não, ou seja, não temos como garantir que ele não pode ser um autovetor de T . Por isso, essa alternativa também não é a resposta.

Resposta

Letra A: 1,1 , 0 + i ( 1,1 , 1 )

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