Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 e sejam λ 1   e λ 2 autovalores distintos de A . Se 1 ,   1 ,   1 e 0 ,   1 ,   2 são autovetores de A associados ao autovalor λ 1 , qual dos vetores abaixo pode ser um autovetor de A associado a λ 2 .

  1. 7 ,   6 ,   7
  2. 6 ,   5 ,   4
  3. 5 ,   6 ,   7
  4. 6 ,   8 ,   10

Passo 1

Belezoca galerinha, o segredo dessa questão é que para autovalores distintos, teremos também autovetores distintos, ou seja, os autovetores associados a λ 1 serão linearmente independentes ao autovetor associado λ 2 . Então podemos testar as opções do enunciado pra saber qual delas é linearmente independente aos vetores 1 ,   1 ,   1 e 0 ,   1 ,   2 .

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor 7 ,   6 ,   7 , então se a gente montar uma matriz com os autovetores, teremos:

1 1 1 0 1 2 7 6 7

O bizu agora, é que se agente escalonar a matriz e alguma linha zerar por inteira, então os vetores são linearmente dependentes, então não será nossos autovetores. Então escalonando essa matriz, obtemos:

1 1 1 0 1 2 7 6 7 ⇒     L 3 = L 3 - 7 L 1 = 1 1 1 0 1 2 0 - 1 0

E logo de cara, o primeiro vetor já não permitiu que nenhuma linha zerasse, logo ele é um possível autovetor para λ 2 .

Passo 3

Mas só pra gente confirmar, bora testar a mesma coisa com os outros vetores. Na letra (b), temos o vetor ( 6 ,   5 ,   4 ) , logo a matriz é:

1 1 1 0 1 2 6 5 4

Escalonando ela, temos:

1 1 1 0 1 2 6 5 4 ⇒     L 3 = L 3 - 6 L 1 = 1 1 1 0 1 2 0 - 1 - 2

1 1 1 0 1 2 0 - 1 - 2 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 1 1 0 1 2 0 0 0

E vimos que a última linha inteira zerou, não permitindo que 6 ,   5 ,   4 seja um autovetor.

Passo 4

Na letra (c), o vetor é 5 ,   6 ,   7 e a matriz é:

1 1 1 0 1 2 5 6 7

Escalonando ela, obtemos:

1 1 1 0 1 2 5 6 7 ⇒     L 3 = L 3 - 5 L 1 = 1 1 1 0 1 2 0 1 2

1 1 1 0 1 2 0 1 2 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 1 1 0 1 2 0 0 0

E novamente a última linha zerou. E para finalizar, o vetor da letra (d) é 6 ,   8 ,   10 , logo a matriz é:

1 1 1 0 1 2 6 8 10

Escalonando:

1 1 1 0 1 2 6 8 10 ⇒     L 3 = L 3 - 6 L 1 = 1 1 1 0 1 2 0 2 4

1 1 1 0 1 2 0 2 4 ⇒     L 3 = L 3 - 2 L 2 = 1 1 1 0 1 2 0 0 0

Logo, o único vetor que é linearmente aos autovetores de λ 1 é o 7 ,   6 ,   7 , fazendo eles um dos possíveis autovetores de λ 2 . Resposta certa, letra (a).

Resposta

Letra (a)

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