Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere as bases de R 2 :

γ = - 1 ,   1 ,   - 1 ,   0   e   σ = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1

E a transformação linear T : R 2 → R 2 cuja matriz na base γ é

T γ = 3 - 2 1 - 1

  1. Determine explicitamente a matriz P de mudança de base da base canônica para a base γ .
  2. Sabendo que a mariz mudança de base da base canônica para a base σ é:
  3. Q = - 1 1 - 1 0

    Determine explicitamente a matriz M de mudança de ase da base γ para a base σ .

  4. Determine explicitamente a matriz T σ da transformação linear T na base σ .
  5. Escreva, se possível, uma forma diagonal de T .

Passo 1

Belezera galerinha bonita, na letra (a) ele quer que a gente encontre a matriz P mudança de base, da base canônica para a base γ . E a malandragem aqui, é que podemos primeiro encontrar a matriz que faz exatamente o contrário, ou seja, a matriz C mudança de base da base γ   para a base canônica. Porque pra encontrar essa matriz, basta a gente colocar os vetores da base γ nas colunas da matriz C , saca só:

γ = - 1 ,   1 ,   - 1 ,   0

Logo:

C = - 1 1 - 1 0

C = - 1 - 1 1 0

E como queremos exatamente o contrário dessa mudança, podemos malandramente inverter nossa matriz. Como a gente é sagaz, vamos usar nossa fórmulazinha pra inverter matrizes 2 × 2 , seja:

A = a b c d

Sua inversa será:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Logo para nossa matriz C = - 1 - 1 1 0 , temos que:

C - 1 = 1 - 1 0 - - 1 1 0 1 - 1 - 1

C - 1 = 0 1 - 1 - 1

Portanto nossa matriz mudança de base da canônica para γ é dada por:

P = C - 1

P = 0 1 - 1 - 1

Passo 2

Show de bolinhas, já na letra (b), queremos encontrar uma matriz que sai da base γ e vai para a base σ . Iradoso, a gente tem a matriz que pega um vetor da base canônica e leva pra base σ , é a nossa matriz Q :

Q = - 1 1 - 1 0 → sai da canônica e vai para   σ

E no Passo 1, a gente viu a matriz que sai da base γ e vai para a base canônica, dada por C :

C = P - 1 = - 1 - 1 1 0 → sai da base   γ   e vai para a base canônica

Então se a gente quer a matriz que sai da base γ e vai para a base σ , é só a gente aplicar as matrizes C e Q em sequência, afinal, C pega a base a γ e leva pra base canônica, e logo em seguida Q vai pegar dessa canônica e levar finalmente pra base σ . Vamos chamar essa matriz de M , logo:

M = Q C

M = - 1 1 - 1 0 - 1 - 1 1 0

Resolvendo essa multiplicação, obtemos:

M = 2 1 1 1

Passo 3

Agora na letra (c), ele quer que e a gente escreva a transformação T na base σ , ou seja, T σ . E pra fazer isso, a gente usa a formulazinha bonitinha dada por:

T σ = M T γ M - 1

Onde M é a matriz mudança de base da base γ pra base σ , enquanto T γ é a transformação T escrita na base γ . E coincidentemente já descobrirmos a matriz M , e a matriz T γ o enunciado fez a caridade de nos dar, logo:

M = 2 1 1 1 ,     T γ = 3 - 2 1 - 1

E para M - 1 podemos usar o algoritmo para inversas. Seja A = a b c d ,   sua inversa será:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Logo, para M = 2 1 1 1 temos:

M - 1 = 1 2 1 - 1 1 1 - 1 - 1 2

M - 1 = 1 - 1 - 1 2

Portanto nossa transformação é escrita como:

T σ = M T γ M - 1

T σ = 2 1 1 1 3 - 2 1 - 1 1 - 1 - 1 2

Resolvendo esse produto, obtemos:

T σ = 1 2 - 1 7 7 - 1 0

Passo 4

E por fim, na letra (c), queremos encontrar (se existir) uma forma diagonal para T . Só que a gente só tem as matrizes T σ e T γ , maaaaassss, isso não é um problema pra gente, afinal para escrever uma forma diagonal, precisamos apenas dos autovalores de uma matriz, e esses autovalores serão os mesmos independente da base que estivermos trabalhando, isto é, os autovalores de T σ são iguais aos autovalores de T γ   e iguais aos de T . E como a gente não é bobo nem nada, bora pegar a matriz mais bonitinha:

T γ = 3 - 2 1 - 1

E pra calcular os autovalores λ da matriz, montamos um polinômio através da relação:

det ⁡ 3 - λ - 2 1 - 1 - λ = 0

Abrindo esse determinante, obtemos:

3 - λ - 1 - λ - - 2 1 = 0

3 - λ - 1 - λ + 2 = 0

E resolvendo esse produto notável:

- 3 - 3 λ + λ + λ 2 + 2 = 0

Logo:

λ 2 - 2 λ - 1 = 0

E suas raízes são:

λ 1 = 1 - 2 ,     λ 2 = 1 + 2

Portanto as formas diagonais possíveis para T são:

D 1 = 1 - 2 0 0 1 + 2   ou   D 2 = 1 + 2 0 0 1 - 2

Resposta

  1. P = 0 1 - 1 - 1
  2. M = 2 1 1 1
  3. T σ = 12 - 17 7 - 10
  4. D 1 = 1 - 2 0 0 1 + 2   ou   D 2 = 1 + 2 0 0 1 - 2

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