Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere o plano π de R 3 de equação cartesiana:

π : x - z = 0

E as transformações lineares

  • T : R 3 → R 3 espelhamento no plano π e
  • P : R 3 → R 3 projeção ortogonal no plano π .

Denote por T ε e P ε as matrizes T e P na base canônica, respectivamente.

  1. Determine explicitamente matrizes S ,   S - 1 , D e E tais que:
  2. T ε = S D S - 1 ,     P ε = S E S - 1

    Onde S é ortogonal e D e E são diagonais.

  3. Determine explicitamente a matriz T ε .
  4. Considere a base β de R 3

β = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   0

Determine explicitamente a matriz T β , a matriz T na base β .

Passo 1

Belezoca galerinha, primeiro de tudo vamos ver os vetores ortogonais e que geram o plano

π : x - z = 0

O vetor ortogonal/normal a esse plano, é exatamente os coeficientes que acompanham as variáveis:

x - z = 1 x + 0 y + - 1 z

Logo o vetor normal n → é:

1 ,   0 ,   - 1

Belezinha, já os vetores que geram o plano, precisam obedecer a relação x - z = 0 , e um dos vetores que obedecem essa relação é o u → = 1 ,   0 ,   1 , já que:

x - z = 0

1 - 1 = 0

E de quebra, o vetor u → = 1 ,   0 ,   1 já é ortogonal ao vetor n → = 1 ,   0 ,   - 1 afinal o produto interno entre eles é nulo:

1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 = 1 1 + 0 0 + 1 - 1 = 1 - 1 = 0

Agora para achar o terceiro vetor v → a gente pode fazer um produto vetorial entre os vetores que já encontramos, dessa forma vamos encontrar vetor v → que gera o plano e de sobra ele já vai sair ortogonal aos outros vetores, logo:

v → = n → × u → = i j k 1 0 - 1 1 0 1 = 0 .   - 2 ,   0

v → = 1 - 2 0 ,   - 2 ,   0 = 0 ,   1 ,   0

v → = 0 ,   1 ,   0

Portanto os vetores que geram o plano são:

π = 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0

E só pra ficar mais sagaz, vamos normalizar já essa base, dividindo os vetores pelos seus módulos, tal que:

π = 1 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1 ,   0

E seu vetor normal é:

n → = 1 ,   0 ,   - 1

Que normalizado, fica assim:

n → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 2

Então quando ele diz que T : R 3 → R 3 espelhamento no plano π , ele quer dizer que o vetor normal n → está sendo refletido, tal que:

T n → = - n →

Enquanto os vetores do plano v → e u → permanecem exatamente no mesmo lugar:

T v → = v → ,     T u → = u →

Isso quer dizer que a transformação T possui os autovalores - 1 associado ao autovetor n → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2 e 1 associado aos autovetores u → = 1 2 ,   0 ,   1 2 e v → = 0 ,   1 ,   0 .

Enquanto para P : R 3 → R 3 a projeção ortogonal no plano π , vamos possuir os mesmos autovetores só que com os autovalores diferentes, tal que:

λ 1 = 0 ,   au t ovetor associado:   n → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

λ 2 = 1 ,   au t ovetor es  associado s :    u → ,   v → = 1 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1 ,   0

Portanto a base σ de autovetores das transformações R e P é:

σ = 1 2 ,   0 ,   - 1 2 , 1 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1 ,   0  

Passo 3

Iradoso, então na letra (a), ele pede pra gente explicitar as matrizes S ,   S - 1 , D e E tais que:

T ε = S D S - 1 ,     P ε = S E S - 1

Onde S é ortogonal e D e E são diagonais. Só que essa é exatamente a decomposição com os autovetores e autovalores, onde S é matriz com os autovetores normalizados da base σ nas colunas, e D e E são as matrizes diagonais com os autovalores respectivos de cada transformação, na diagonal principal, ou seja:

S = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0 ,     D = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,     E = 0 0 0 0 1 0 0 0 1

E como a matriz S é uma matriz ortogonal, ela possui a propriedade de que S - 1 = S T , tal que:

S - 1 = S T = 1 2 0 - 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

Passo 4

Já na letra (b), pra determinar explicitamente T ε é só a gente resolver a equação:

T ε = S D S - 1

Substituindo os termos, temos que:

T ε = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 - 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

Logo:

T ε = 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Passo 5

Agora na letra (c), queremos determinar explicitamente a matriz T β onde:

β = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   0

E pra isso a gente pode dividir em duas etapas, primeiro escrevemos saindo da base canônica e indo pra base β , pra isso a gente faz a multiplicação da matriz T ε com cada vetor da base β :

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 = 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 - 1 = - 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 = 0 1 1

Logo, T ε β é dado pela junção de todos esses resultados:

T ε β = 1 - 1 0 0 0 1 1 1 1

Agora a segunda etapa, a gente precisa reescrever as colunas T ε β como combinação linear dos vetores da base β = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   0 , desse jeito:

1 ,   0 ,   1 = a 1 ,   0 ,   1 + b 1 ,   0 ,   - 1 + c 1 ,   1 ,   0

Nesse caso, temos que a resposta do sistema é:

a = 1 ,     b = 0 ,     c = 0

Então a primeira coluna 1 ,   0 ,   1 escrita na base β é dada por:

1 ,   0 ,   1 β = a ,   b ,   c = 1 ,   0 ,   0

Fazendo isso para a segunda coluna ( - 1 ,   0 ,   1 ) , obtemos:

- 1 ,   0 ,   1 = a 1 ,   0 ,   1 + b 1 ,   0 ,   - 1 + c 1 ,   1 ,   0

a = 0 ,     b = - 1 ,     c = 0

Logo:

- 1 ,   0 ,   1 β = a ,   b ,   c = 0 ,   - 1 ,   0

E por fim, para a última coluna 0 ,   1 ,   1 , obtemos:

0 ,   1 ,   1 = a 1 ,   0 ,   1 + b 1 ,   0 ,   - 1 + c 1 ,   1 ,   0

a = 0 ,     b = - 1 ,     c = 1

Logo:

0 ,   1 ,   1 β = a ,   b ,   c = 0 ,   - 1 ,   1

Isso quer dizer que nossa matriz T β é formada por esses vetores nas colunas, tal que:

T β = 1 0 0 0 - 1 - 1 0 0 1

Resposta

  1. S = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0 ,     D = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,     E = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ,   S - 1 = 1 2 0 - 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0
  2. T ε = 0 0 1 0 1 0 1 0 0
  3. T β = 1 0 0 0 - 1 - 1 0 0 1

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