Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão quatro e T : V → V uma transformação linear tal que existem subespaços W 1 e W 2 de V , ambos de dimensão dois, tais que T v = v , para v ∈ W 1 e T v = - v para v ∈ W 2 . Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. O espaço V possui uma base de autovetores de T .
  2. Existe um vetor v não nulo tal que T v = 0

a   I é verdadeira e I I é falsa.

b   I e I I são verdadeiras.

c   I é falsa e I I é verdadeira.

d   I e I I são falsas.

Passo 1

Afirmativa I :

O enunciado fala que T v = v , para v ∈ W 1 e T v = - v para v ∈ W 2 . E o que isso significa em termos de autoespaço?

Significa que W 1 é o autoespaço associado ao autovalor 1 ! Porque todo vetor de W 1 aplicado na transformação retorna ele mesmo.

W 2 é o autoespaço associado ao autovalor - 1 seguindo o mesmo raciocínio que usamos para W 1 .

Além disso, como sabemos que o mesmo autoespaço não pode estar associado a mais de um autovalor, a interseção entre W 1 e W 2 tem de ser 0 ! Isso significa que a soma da dimensão dos autoespaços é 4 :

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 ⏟ 2 + dim ⁡ W 2 ⏟ 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2 ⏟ 0 = 4

Logo, temos uma base de autovetores! E como W 1 e W 2 pertencem a V , então V possui uma base de autovetores ;)

Passo 2

Afirmativa I I :

Se existe um vetor v não nulo tal que T v = 0 então temos um autovalor 0 . Isso quer dizer que temos um autoespaço de dimensão pelo menos 1 associado à ele! Mas isso é impossível, já que a soma da dimensão dos autoespaços não pode ser maior que 4 (e já temos 4 como vimos na afirmativa I ).

Resposta

Letra a

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