Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

QUESTÃO EXTRA

Seja A , 3 × 3 , uma matriz com autovetores v → 1 , v → 2 e v → 3 , respectivamente associados aos autovalores 1 ,   2 e 3 . Seja G - 1 um plano afim e paralelo ao plano gerado por v → 2 e v → 3 . Analogamente, seja G - 2 um plano afim e paralelo ao plano gerado por v → 1 e v → 3 e, finalmente, seja G - 3 um plano afim e paralelo ao plano gerado por v → 1 e v → 2 :

  1. Se v → ∈ G - 1 , então A v → ∈ G - 1
  2. Se v → ∈ G - 2 , então A v → ∈ G - 2
  3. Se v → ∈ G - 3 , então A v → ∈ G - 3
  1. Apenas III é verdadeira.
  2. Apenas I é falsa.
  3. Apenas I é verdadeira.
  4. Apenas II é falsa.
  5. Apenas III é falsa.
  6. Apenas II é verdadeira.

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, então essa que é a tal Questão Extra. Vamos ver se ela é isso tudo mesmo rsrs

Vamos com carinho aqui, saca só, o enunciado disse pra gente que v → 1 , v → 2 e v → 3 são os autovetores dos autovalores 1 ,   2 e 3 respectivamente.

λ 1 = 1 ,     v → 1

λ 2 = 2 ,     v → 2

λ 3 = 3 ,     v → 3

Dado isso, ele afirma que G - 1 é um plano afim e paralelo ao plano gerado por v → 2 e v → 3 , ou seja, se o plano é afim quer dizer que ele passa pela origem, e além disso G - 1 é paralelo ao plano gerado por v → 2 e v → 3 , isso é, v → 2 e v → 3 são os vetores diretores do plano G - 1 . Iradoso, sabendo disso, a gente pode escrever a equação parametrizada do plano, desse jeito ó:

G - 1 = P 1 + a v → 2 + b v → 3

Onde P 1 é um ponto qualquer do plano G - 1 , que pertence também a R 3 . Além disso, a   e   b são os coeficientes da combinação linear (parâmetros) entre v → 2 e v → 3 para gerar o plano.

Maneiríssimo, então seguindo essa mesma linha de raciocínio podemos escrever a equação parametrizada dos planos G - 2 e G - 3 :

G - 2 = P 2 + a v → 1 + b v → 3

G - 3 = P 3 +   a v → 1 + b v → 2

Belezoca, agora que a gente sabe a cara dos planos, podemos analisar cada afirmativa pra ver se realmente fazem sentido.

Passo 2

Se liga só, na afirmativa (I) ele diz que se v → ∈ G - 1 , então A v → ∈ G - 1 .

Mas calma aí meu patrão, porque a gente conhece a cara do plano G - 1 , então se esse vetor v → pertence ao plano, ele é da forma:

v → = P 1 + a v → 2 + b v → 3

E a malandragem agora tá no ponto P 1 , porque esse ponto pertence ao plano G - 1 MAAAASS ele também pertence ao espaço R 3 . E como temos 3 autovetores distintos v → 1 , v → 2 e v → 3 , quer dizer que esses autovetores também são uma base de R 3 , e se eles são uma base, eu posso escrever esse ponto P 1 como uma combinação linear desses vetores, tal que:

P 1 = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3

Maravilha então a gente pode juntar essa informação na nossa equação de v → ∈ G - 1 :

v → = P 1 + a v → 2 + b v → 3

v → = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3 ⏝ P 1 + a v → 2 + b v → 3

v → = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3 + a v → 2 + b v → 3

Dando mais arrumadinha, temos que:

v → = β 1 v → 1 + β 2 + a v → 2 + β 3 + b v → 3

E aqui vale a pena a gente reparar que temos um vetor diferente dos vetores da base de G - 1 .

É o vetor v → 1 , ele é acompanhado pela constante β 1 , e isso significa que o plano G - 1 cruza o eixo de v → 1 em β 1 .

Passo 3

Mec Mec mais Mec que o Big Mec! Agora a gente pode fazer a aplicação A v → sem medo de viver, bora lá:

A v → = A β 1 v → 1 + β 2 + a v → 2 + β 3 + b v → 3

Passando A para dentro, temos:

A v → = A β 1 v → 1 + A β 2 + a v → 2 + A β 3 + b v → 3

E agora tirando as constantes para fora, temos que:

A v → = β 1 . A v → 1 + β 2 + a . A v → 2 + β 3 + b . A v → 3

E agora que fica divertido, porque v → 1 , v → 2 e v → 3 são autovetores de A , isso quer dizer que podemos trocar a operação que A faz, pelo respectivo autovalor. Desse jeito ó:

A v → = β 1 . λ 1 v → 1 + β 2 + a . λ 2 v → 2 + β 3 + b . λ 3 v → 3

A v → = β 1 . 1 v → 1 + β 2 + a . 2 v → 2 + β 3 + b . 2 v → 3

A v → = β 1 v → 1 + 2 β 2 + a v → 2 + 3 β 3 + b v → 3

Mas agora repara ali nos vetores da base de G - 1 , v → 2 e v → 3 . Eles estão acompanhados pelas constantes 2 β 2 + a   e 3 β 3 + b respectivamente. Só que o interessante é que elas não deixaram de ser constantes, então podemos chamar elas, sei lá, de k e t , que aí teríamos:

A v → = β 1 v → 1 + k v → 2 + t v → 3

Ou seja, o vetor A v → pertence ao plano gerado pelos vetores v → 2 e v → 3 e cruza o eixo de v → 1 em β 1 . Exatamente igual ao plano G - 1 . Logo podemos concluir que A v → ∈ G - 1 . Afirmativa verdadeira.

Passo 4

Chuchu beleza então pessoal, agora na afirmativa (II), ele diz que se v → ∈ G - 2 , então A v → ∈ G - 2 . E podemos seguir a mesma linha de raciocínio que fizemos na afirmativa (I). Temos que esse vetor vai ter a cara:

v → = P 2 + a v → 1 + b v → 3

O ponto P 2 pertence ao plano G - 2 e também pertence a R 3 , por isso ele segue o mesmo padrão do ponto P 1 :

P 2 = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3

Então reescrevendo nosso vetor, temos:

v → = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3 ⏝ P 2 + a v → 1 + b v → 3

v → = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3 + a v → 1 + b v → 3

Reorganizando os termos, temos:

v → = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + β 3 v → 3 + a v → 1 + b v → 3

v → = β 2 v → 2 + β 1 + a v → 1 + β 3 + b v → 3

A gente pode reparar agora que o vetor diferente dos vetores da base é o v → 2 , isso quer dizer então que o plano cruza o vetor diferente v → 2 , em β 2 .

Então aplicando a transformação A no vetor v → , temos A v → desse jeito ó:

A v → = A β 2 v → 2 + β 1 + a v → 1 + β 3 + b v → 3

A v → = A β 2 v → 2 + A β 1 + a v → 1 + A β 3 + b v → 3

Passando as constantes pra fora da transformação, temos:

A v → = β 2 . A v → 2 + β 1 + a . A v → 1 + β 3 + b . A v → 3

Substituindo a transformação A pelo respectivo autovalor, temos:

A v → = β 2 . 2 v → 2 + β 1 + a . 1 v → 1 + β 3 + b . 3 v → 3

A v → = 2 β 2 v → 2 + β 1 + a v → 1 + 3 β 3 + b v → 3

E olha a maldade ali, repara que agora o vetor diferente v → 2 está acompanhado da constante 2 β 2 , e isso significa que A v → cruza o eixo de v 2 em 2 β 2 , MAAASSSS o plano cruza o eixo v → 2 , somente em β 2 . Isso significa que o vetor v → quando submetido a transformação A , é deslocado do plano G - 2 . Logo

A v → ∉ G - 2

Afirmativa (II), falsa.

Passo 5

E na afirmativa (III) galera, vamos ter algo muito, muito, muuuito parecido com a afirmativa (II) do Passo 3 e 4, a não ser que agora o nosso vetor diferente será o v → 3 , que possui o autovalor associado λ 3 = 3 . E quando aplicado a transformação A , vai fazer nosso vetor v → se deslocar na direção de v → 3 , levando ao deslocamento para fora do plano G - 3 . Afirmativa (III), falsa.

Resposta certa, letra (c).

Resposta

Letra (c).

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