Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere a reta r em R 3 de equação paramétrica

t ,   t ,   - 2 t ,     t ∈ R

e a transformação linear

E : R 3 → R 3

Espelhamento em relação a reta r .

  1. Determine uma base ortonormal β   de R 3 formada por autovetores de E , e determine os respectivos autovalores.
  2. Determine a matriz E β da transformação linear E na base β ,
  3. Determine a matriz E ε da transformação linear E na base canônica de R 3 .

Passo 1

Show de bolinhas galera, na letra (a), a gente quer encontrar uma base ortonormal β de R 3 formada por autovetores de E , e seus respetivos autovalores. Dito isso, sabemos que E é um espelhamento através de um plano, e todo espelhamento possui duas características principais:

  • Quando a matriz for aplicada a um vetor v → que pertence a reta r = t ,   t ,   - 2 t , ele permanecerá na reta
  • E v → = v →

    Logo, o vetor v → = 1 ,   1 ,   - 2 será um autovetor associado ao autovalor 1

  • Agora para o plano ortogonal a reta r , quando a matriz E for aplicado nos vetores u → e w → que formam esse plano, eles serão espelhados tal que:

E u → = - u → ,     E w → = - w →

Portanto, os vetores u → e w → serão autovetores associados ao autovalor - 1 .

Show de boleta, então já temos um autovetor 1 ,   1 ,   - 2 e falta encontrar os outros dois, pra isso a gente pode lembrar que 1 ,   1 ,   - 2 também é o vetor normal do plano, tal que podemos escrever o plano como:

1 x + 1 y + - 2 z = 0

x + y - 2 z = 0

Portanto os autovetores u → e w → que geram o plano, respeitam a equação acima. Então podemos ver, que pelo menos um desses vetores pode ser dado por:

u → = 1 ,   - 1 ,   0

Afinal se a gente jogar ele na equação x + y - 2 x = 0 , vamos obter:

1 + - 1 - 2 0 = 0

0 = 0

Logo ele é um dos nossos autovetores, e de sobra ele também já é ortogonal a 1 ,   1 ,   - 2 , já que:

1 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   - 2 = 1 1 + - 1 1 + 0 - 2 = 0

Então pra gente encontrar o terceiro autovetor, é só a gente fazer o produto vetorial entre os dois já existentes, dessa forma vamos encontrar o autovetor e ainda de quebra ele já vai ser ortogonal. Saca só:

w → = i j k 1 - 1 0 1 1 2 = - 2 ,   - 2 ,   - 2

w → = 1 ,   1 ,   1

Logo os autovetores são:

1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2

Passo 2

MAAASS, queremos uma base β ortonormal, isto é, além dos vetores da base serem ortogonais entre si, eles precisam ter módulo/norma iguais a 1 . Então precisamos apenas normalizar nossa base de autovetores que já é ortogonal, e pra isso basta a gente dividir os vetores pelo seu módulo, desse jeito:

1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

1 ,   - 1 ,   0 = 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 2

1 ,   1 ,   2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

Logo:

β = 1 3 1 ,   1 ,   1 ,   1 2 1 ,   - 1 ,   0 ,   1 6 1 ,   1 ,   2

β = 1 3 ,   1 3 ,   1 3 ,   1 2 ,   -   1 2 ,   0 ,   1 6 ,   1 6 ,   2 6

E os autovalores são 1 e - 1 .

Passo 3

Na letra (b), queremos encontrar a matriz E β , maaassss a malandragem aqui é que acabamos de encontrar β e vimos que ela é uma base ortonormal de autovetores, e SEMPRE que a gente escrever nossa matriz numa base ortonormal de autovetores, ela vai ser igual a uma matriz diagonal com os autovetores na diagonal principal:

E β = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3

Como vimos, temos que apenas dois autovalores, 1 e - 1 , mas o autovalor - 1 possui dois autovetores associados a ele, portanto ele se repete duas vezes como autovalor, tal que:

E β = - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Passo 4

Belezoca, agora na letra (c), queremos encontrar a matriz E ε na base canônica. Como temos apenas a base β , podemos mudar a base de E β para E ε através da relação:

E ε = S E β S - 1

Onde S é a matriz que possui os vetores da base β nas colunas:

S = 1 / 3 1 / 2 1 / 6 1 / 3 - 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 - 2 / 6

Mas como nossa matriz S é uma matriz ortogonal, ela possui a propriedade de que:

S - 1 = S T

Logo:

S - 1 = 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 6 1 / 6 - 2 / 6

Portanto, nossa mudança de base fica assim:

E ε = S E β S - 1

E ε = 1 / 3 1 / 2 1 / 6 1 / 3 - 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 - 2 / 6 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 6 1 / 6 - 2 / 6

E resolvendo essa multiplicação de matrizes, obtemos que:

E ε = - 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 1 / 3

Resposta

  1. β = 1 3 ,   1 3 ,   1 3 ,   1 2 ,   -   1 2 ,   0 ,   1 6 ,   1 6 ,   2 6
  2. E β = - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1
  3. E ε = - 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 - 2 / 3 1 / 3

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