Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere a transformação T : R 3 → R 3 satisfazendo T 1,0 , 0 = 2,0 , 0 , T 0,2 , 0 = 0,8 , 0 e T 0,2 , 3 = 0 , - 6 , - 9 . Assinale a soma dos elementos da diagonal da matriz de T na base canônica.

a   4

b   2

c   3

d   1

Passo 1

Podemos achar essa transformação T aí, só que tem um jeito muuuuuito mais fácil de resolvermos isso. Repare que todos os valores da T L que ele deu pra gente retornam um múltiplo do vetor no qual a T L foi aplicada.

Opa, então ele deu vários autovetores pra gente de bandeja! Se liga:

T 1,0 , 0 = 2,0 , 0 = 2 1,0 , 0

T 0,2 , 0 = 0,8 , 0 = 4 0,2 , 0

T 0,2 , 3 = 0 , - 6 , - 9 = - 3 0,2 , 3

Como a matriz é 3 × 3 ela pode ter no máximo 3 autovalores, então isso garante que achamos todos! São eles 2 ,   4 e - 3 .

A soma dos elementos da diagonal da matriz é o traço da matriz certo? E sabemos que o traço da matriz é a soma de seus autovalores! Logo, a soma dos elementos da diagonal da matriz é:

2 + 4 - 3 = 3

Resposta

Letra c  

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