Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Mostre que:

a) Se T : V → V é um isomorfismo e se λ é um autovalor de T , então λ ≠ 0 e 1 λ é autovalor da inversa T - 1 : V → V .

b) Não existe uma transformação linear S : P 2 → R 4 tal que dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ I m ( T ) .

Passo 1

a) Vamos supor v ≠ 0 V tal que T v = λ . v . Se tivéssemos λ = 0 , teríamos que v ∈ k e r ⁡ ( T ) e aí ker ⁡ T ≠ { 0 V } . Masss, isso não é possível, porque T é um isomorfismo. Então de fato λ ≠ 0 .

Se aplicarmos T - 1 na igualdade T v = λ . v vamos ter

T - 1 ( T v ) = T - 1 ( λ . v )

T - 1 T v = λ . T - 1 ( v )

T - 1 T v . 1 λ = T - 1 ( v )

v . 1 λ = T - 1 ( v )

Como v ≠ 0 V , temos que 1 λ realmente é um autovalor de T - 1 .

Passo 2

b) De acordo com o teorema núcleo-imagem, se S : P 2 → R 4 é uma transformação linear, dim ⁡ k e r ⁡ ( S ) + dim ⁡ I m ( S ) = dim ⁡ P 2 = 3 .

Se tivéssemos dim ⁡ k e r ⁡ ( S ) = dim ⁡ I m ( S ) teríamos:

dim ⁡ I m ⁡ ( S ) + dim ⁡ I m ( S ) = 3

2 dim ⁡ I m ( S ) = 3

dim ⁡ I m ( S ) = 3 2

O que é um absurdo. Logo, não existe tal transformação linear S : P 2 → R 4 tal que dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ I m ( T ) .

Resposta

Demonstração.

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