Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja V o espaço formado pelas combinações lineares das funções e 2 x , 2 x e 2 x . Considere em V a transformação linear T que a cada vetor associa a derivada dessa função. Então:

a   T tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores

( b ) T tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores

( c ) T tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores

( d ) T tem autovalores complexos

Passo 1

Bom, vamos ver o que essa T L faz! Ela pega um polinômio do tipo:

p x = a e 2 x + b 2 x e 2 x

E leva em algo assim:

T p x = 2 a e 2 x + b 2 e 2 x + 4 x e 2 x

T p x = 2 a e 2 x + 2 b e 2 x + 2 b 2 x e 2 x

T p x = 2 a + 2 b e 2 x + 2 b 2 x e 2 x

Se escrevermos esses polinômios como vetores em função da base e 2 x , 2 x e 2 x teremos:

T a , b = 2 a + 2 b , 2 b

T a , b = 2 a + 2 b 2 b

T a , b = 2 2 0 2 a b

T = 2 2 0 2

Pronto, essa é nossa T L na base e 2 x , 2 x e 2 x .

Passo 2

E agora sim, sabemos achar os autovalores dessa matriz:

det ⁡ 2 - λ 2 0 2 - λ = 0

2 - λ 2 = 0

Logo, nossa T L possui dois autovalores iguais, λ = 2 ! Para achar os autovetores basta resolvermos:

2 - 2 2 0 2 - 2 0 0 = 0 2 0 0 0 0 ⇒ 2 b = 0 ⇒ b = 0

Assim, os autovetores são da forma a , 0 , ou, voltando para nossa forma de polinômios:

a e 2 x

Logo, temos dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores.

Resposta

Letra ( a )

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