Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Considere a transformação linear T : P 2 → P 2 dada por:

T a x 2 + b x + c = a + c x 2 + b x + c

Qual é a soma das dimensões dos autoespaços de T ?

a   1

b   2

c   0

d   3

Passo 1

Não sabemos nenhuma forma de descobrir isso diretamente com a T L , então a primeira coisa que temos que fazer é escrevê-la em alguma base de P 2 . Para ficar mais fácil montar a matriz, ao invés de usar a base canônica, vamos usar essa base aqui:

ε = x 2 , x , 1

T a , b , c = a + c , b , c

Na forma matricial:

T ε = 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Se tivéssemos usado a base canônica, o c viria primeiro e o a viria por último o que ficaria meio contra intuitivo e poderia gerar algum erro.

Passo 2

Agora é só aplicar aquele passo a passo de sempre para acharmos os autoespaços:

1 - λ 0 1 0 1 - λ 0 0 0 1 - λ = 1 - λ 3 = 0

λ = 1 ,   1   e   1

Temos apenas um autovalor, então é só acharmos a dimensão do autoespaço associado à ele:

1 - 1 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c = 0

Temos apenas c = 0 como condição, então a e b são livres e nosso autoespaço associado tem dimensão 2 .

Resposta

Letra ( b )

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